Por ejemplo $1,2,3$ tenemos 15 combinaciones:
$1,2,3,12,13,21,23,31,32,123,132,213,231,312,321$ .
Tengo la fórmula $\sum\limits_{k=1}^{n}\binom{n}{k}*k!$ que puede simplificarse en $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{n!}{(n-k)!}$
Me pregunto si esta fórmula puede simplificarse aún más...
Para $n\ge1$ su suma es igual a $$ \lfloor n!e-1\rfloor $$ Esto se debe a que $$ \begin{align} \sum_{k=1}^n\frac{n!}{(n-k)!} &=n!\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{k!}\\ &=n!\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}-n!\sum_{k=n}^\infty\frac1{k!}\\ &=n!e-1-\frac1{n+1}-\frac1{(n+1)(n+2)}-\dots \end{align} $$ y puesto que $\frac1n=\frac1{n+1}+\frac1{(n+1)^2}+\frac1{(n+1)^3}+\dots\gt\frac1{n+1}+\frac1{(n+1)(n+2)}+\frac1{(n+1)(n+2)(n+3)}+\dots$ $$ n!e-1-\frac1n\lt\sum_{k=1}^n\frac{n!}{(n-k)!}\lt n!e-1-\frac1{n+1} $$
Ejemplos
Para $n=2$ esto da $\lfloor5.43656365691809-1\rfloor=4$ .
Para $n=3$ esto da $\lfloor16.3096909707543-1\rfloor=15$ .
Para $n=4$ esto da $\lfloor65.2387638830171-1\rfloor=64$ .
No creo que la suma que has escrito corresponda al número de combinaciones de listas como la que has escrito.
Creo que estás buscando $$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n+1} \binom{n+1}{k}$$
Es la suma de los elementos del $(n+1)^\text{th}$ fila de Triángulo de Pascal menos uno. Esto es igual a $$2^{n+1}-1$$ .
Por ejemplo, cuando $n=3$ esto da $2^4-1 = 15$ .
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