Cómo resolver $x$ en la ecuación $\sin(2x) = -\frac{1}{2}$ en el intervalo de $[0, 2\pi]$ ?

Question

Hasta ahora, sólo tengo las soluciones $11\pi/12$ y $7\pi/12$ (Creo que hay un total de $4$ ). Creo que esto tiene algo que ver con las identidades trigonométricas, y debería poder resolverse sin usar una calculadora. Sin embargo, sólo he podido obtener las soluciones anteriores utilizando mi calculadora.

Answer 1

Si $$\sin(2x) = -\frac{1}{2}$$ entonces \begin{align*} 2x & = \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + 2n\pi & 2x & = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + 2m\pi\\ 2x & = -\frac{\pi}{6} + 2n\pi & 2x & = \pi - \left(-\frac{\pi}{6}\right) + 2m\pi\\ x & = -\frac{\pi}{12} + n\pi & 2x & = \frac{7\pi}{6} + 2m\pi\\ & & x & = \frac{7\pi}{12} + m\pi \end{align*} donde $m, n \in \mathbb{Z}$ . El requisito de que $x \in [0, 2\pi]$ implica $n = 1, 2$ y $m = 0, 1$ .

Answer 2

Todas las soluciones posibles de la ecuación general $\sin(x)=k$ son de la forma $x = \arcsin(k) + 2\pi n$ o $x = \pi - \arcsin(k) + 2\pi m$ donde $n,m$ son números enteros.