Sea $\{S_k\}_{k\geq0}$ , $S_0=0$ sea un paseo aleatorio simple simétrico. Para un número entero $n\geq1$ , dejemos que $\tau_n=min\{k\geq1:S_k\notin(-n,n)\}$ sea la primera vez k tal que $S_k$ abandona la región $(-n,n)$ , $n\geq1$ donde $\tau_n=\infty$ si no existe tal k. Hallar la función generadora de momentos de $S_{\tau_n}$ , $E[S_{\tau_n}]$ y $Var(S_{\tau_n})$ .
Si puedo encontrar la función generadora de probabilidad de $S_{\tau_n}$ entonces puedo encontrar la expectativa y la varianza de la misma. Traté de usar la expectativa condicional. Obtuve $E[e^{tS_{\tau_n}}|\tau_n]=(\frac{e^t+e^{-t}}{2})^{\tau_n}$ . Desde $E[e^{tS_{\tau_n}}]=E[E[e^{tS_{\tau_n}}|\tau_n]]$ para encontrar $E[e^{tS_{\tau_n}}]$ necesito encontrar la función generadora de probabilidad de $\tau_n$ y ahí es donde empieza mi problema. Primero intenté encontrar su pmf pero no lo conseguí. ¿Debo continuar de esta manera o hay alguna otra manera?
