¿La serie siguiente $$ g(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(nx)^2+1} $$ convergen uniformemente
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en $x \in (0,1)$
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en $x\in (1, \infty)$
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Calcular límite $\lim_{x \rightarrow \infty} g(x)$ .
Mis intentos:
cuando $x \in (1, \infty)$ tenemos
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(nx)^2+1} \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2x^2} \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} $$ por lo que las series convergen uniformemente basándose en el Teorema de Weierstrass.
cuando $x \in (0, 1)$ tenemos
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{(nx)^2+1} = 0 = f(x) \\ f_n \rightarrow f \\ \text{We want to ensure that for every }\epsilon\sup_{x \in (0,1)} \left|\frac{1}{(nx)^2+1} - 0 \right | < \epsilon $$ Busquemos sus puntos extremos diferenciando: $$ f_n'(x) = \frac{-2n^2x}{((nx)^2 +1)^2} $$ por lo que la función es estrictamente decreciente y puede tener un extremo cuando x = 0. Pero como $x = 0 \notin (0,1)$ utilizamos el límite para encontrar valores cercanos a cero: $$ \lim_{\epsilon \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{(n\epsilon)^2+1} = 1 \gt \epsilon $$
Por tanto, las series convergen uniformemente sólo cuando $x > 1$ .
¿Es un razonamiento correcto? ¿Cómo puedo encontrar su límite? ¿Es igual a la función $f$ converge a por lo que es sólo 0?