Convergencia uniforme de las series $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(nx)^2+1}$

Question

¿La serie siguiente $$ g(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(nx)^2+1} $$ convergen uniformemente

• en $x \in (0,1)$

• en $x\in (1, \infty)$

• Calcular límite $\lim_{x \rightarrow \infty} g(x)$ .

Mis intentos:

cuando $x \in (1, \infty)$ tenemos

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(nx)^2+1} \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2x^2} \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} $$ por lo que las series convergen uniformemente basándose en el Teorema de Weierstrass.

cuando $x \in (0, 1)$ tenemos

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{(nx)^2+1} = 0 = f(x) \\ f_n \rightarrow f \\ \text{We want to ensure that for every }\epsilon\sup_{x \in (0,1)} \left|\frac{1}{(nx)^2+1} - 0 \right | < \epsilon $$ Busquemos sus puntos extremos diferenciando: $$ f_n'(x) = \frac{-2n^2x}{((nx)^2 +1)^2} $$ por lo que la función es estrictamente decreciente y puede tener un extremo cuando x = 0. Pero como $x = 0 \notin (0,1)$ utilizamos el límite para encontrar valores cercanos a cero: $$ \lim_{\epsilon \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{(n\epsilon)^2+1} = 1 \gt \epsilon $$

Por tanto, las series convergen uniformemente sólo cuando $x > 1$ .

¿Es un razonamiento correcto? ¿Cómo puedo encontrar su límite? ¿Es igual a la función $f$ converge a por lo que es sólo 0?

Answer 1

Yo lo haría de la siguiente manera: si su serie fuera uniformemente convergente en $(0,1)$ entonces la secuencia $\bigl(f_n(x)\bigr)_{n\in\mathbb N}$ donde $f_n(x)=\frac1{(nx)^2+1}$ convergería uniformemente a la función nula. Pero no es así, ya que $$(\forall n\in\mathbb N):f_n\left(\frac1n\right)=\frac12.$$

Por otra parte, si $N\in\mathbb N$ entonces $$g(N)=\sum_{n=1}^\infty\frac1{(Nn)^2+1}<\sum_{n=1}^\infty\frac1{(Nn)^2}<\sum_{n=N}^\infty\frac1{n^2}\to_{N\to\infty}0.$$ Esto, unido al hecho de que $g$ es decreciente en $(1,\infty)$ (ya que es la suma de funciones decrecientes), muestra que $\lim_{x\to\infty}g(x)=0.$

Answer 2

Si le gusta la exageración, puede que note que $\frac{1}{n^2+a^2}=\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(nt)}{n}e^{-at}\,dt$ para cualquier $a,n\in\mathbb{N}^+$ .
De ello se deduce que $$ \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2 x^2+1} = \frac{1}{x^2}\sum_{n\geq 1}\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(nt)}{t} e^{-t/x}\,dt =\frac{1}{x^2}\int_{0}^{+\infty}W(t)e^{-t/x}\,dt$$ donde $W(t)$ es el $2\pi$ -extensión periódica de la función (onda diente de sierra) que es igual a $\frac{\pi-t}{2}$ en $(0,2\pi)$ . Por integración explícita, se deduce que $$ \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2 x^2+1} = \frac{\pi\coth\frac{\pi}{x}-x}{2x} $$ por lo que la respuesta al tercer punto es simplemente cero . La RHS es ilimitada en una vecindad derecha del origen, por lo tanto no podemos tener convergencia uniforme en $(0,1)$ . Si $x\in(0,1)$ el RHS es en realidad muy cerca de $\frac{\pi-x}{2x}$ . Por otra parte, la convergencia uniforme sobre $[1,+\infty)$ es casi trivial ya que el LHS es una función positiva, continua y decreciente del $x$ variable.