Siempre me ha parecido que usar la regla de la mano derecha para recordar cómo son las fuerzas, los campos B y las velocidades de las partículas es engañarme un poco intelectualmente. Es como ser capaz de multiplicar números con los dedos sin saber qué es realmente la multiplicación. Sin embargo, cuando intento "pensar en ello", acabo imaginando lo que harían mis manos en mi cabeza. ¿Cómo puedo pensar en las direcciones de los vectores de la regla de la mano derecha electromagnética para entender intuitivamente lo que está pasando, en lugar de utilizar el equivalente de una hoja de trucos?
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Yakk
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Las ubicaciones en el espacio newtoniano pueden describirse como 3 coordenadas, o un espacio tridimensional. Lo mismo ocurre con las fuerzas, velocidades y similares.
Resulta que las formas en que las cosas pueden girar también pueden describirse mediante 3 dimensiones.
Imagina que tienes algo que da vueltas. Primero, dibuja una esfera unitaria a su alrededor, y donde el eje de giro cruce la esfera anota esos puntos. Esos dos puntos están en lados opuestos de la esfera.
Esto no describe completamente el giro, pero te dice dónde está el eje.
Luego hay que añadir a qué velocidad gira y en qué dirección.
Para la velocidad, podemos escalar la distancia desde el origen. Esto es bueno, porque "no girar en absoluto" tiene una distancia de 0, y que corresponde al punto donde el "eje" no está definido. Realmente es perfecto que se anulen.
El siguiente problema es en qué dirección está girando. En este momento tenemos 2 puntos en la esfera y dos direcciones que tenemos que distinguir.
La regla de la mano derecha dice literalmente: "Vale, elegiremos uno de estos dos puntos para distinguir el giro en un sentido del otro". Si eligieras el otro punto, todas las matemáticas seguirían funcionando, sólo tendrías una regla de la mano izquierda, y algunas funciones para convertir entre matemáticas angulares vs lineales tendrían un cambio de signo a veces.
El punto que asignamos a un giro no es una velocidad o una compensación. Es sólo algo que se comporta matemáticamente como un desplazamiento.
El mapeo natural entre el espacio de desplazamientos y el espacio de rotaciones -- o, el espacio de vectores y bi vectores en 3 dimensiones -- tiene que hacer una elección -- hay dos mapeos igualmente buenos con propiedades agradables. Nuestra elección de qué mapeo usamos es la regla de la mano derecha.
Para trasladar esto a algo a lo que quizá estés más acostumbrado, ¿dónde está el punto cero de la energía potencial gravitatoria? A veces se acaba situando en el infinito, otras a ras de suelo. No importa dónde lo pongas, pero sí importa que hagas tus cálculos estando de acuerdo en dónde está.
Puede evitar tener que tomar esa decisión hablando sólo de diferencias en energía potencial gravitatoria, pero eso a veces hace que las matemáticas sean un poco más molestas de usar. A menudo acabas eligiendo una altura o un punto y diciendo "todos mis valores de energía potencial gravitatoria son relativos a este punto".
Esa elección -de dónde está el 0- es libre, pero tiene que estar consensuada en todas las matemáticas. Lo mismo ocurre con la regla de la mano derecha frente a la de la mano izquierda: la elección es libre, pero tiene que ser la misma o las matemáticas se estropean.
Podríamos evitar hacer la elección, pero entonces hace que otras matemáticas sean más molestas de hacer. Así que elegimos una y nos ceñimos a ella.
David Naab
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11
Puede haber una alternativa significativa a "Mano Derecha" relacionándola con la $xyz$ convención sobre los ejes y el símbolo de Levi Civita $\epsilon_{ijk}$ en el que, si no me equivoco, los términos +1 se llaman permutaciones "pares" de 123, y los términos -1 se llaman permutaciones "Impares", por ejemplo 321.
Se podría expresar, por ejemplo, la fórmula del par motor como:
$$\vec \tau = \vec r \times \vec F$$
O como: $$\vec \tau = \epsilon_{ijk} \hat e_i r_j F_k $$
Esto parece basarse en la matemática pura, pero no tengo la suficiente confianza para evaluar si asume implícitamente una dirección diestra para los ejes de tipo "123" (xyz).
Esto es más una sugerencia para seguir investigando que una respuesta verdadera.
P.D. Desde mi comprensión de la QM al nivel de la cultura popular, parece que la quiralidad/paridad/manos es una característica irreductible del mundo tridimensional que puede no tener una explicación "más profunda" (todavía). El hecho de que lo asociemos con nuestras manos humanas se debe simplemente a que es la primera manifestación de quiralidad que la gente conoce.
Podríamos decir, "construye un eje xyz tal que el Kaon decaiga en un $e^+$ moviéndose en la dirección z, y un reloj que mire desde atrás (más lejos -z) avanzará 'en el sentido de las agujas del reloj' de +x a +y en la dirección del $e^+$ 's intrinsic spin...." (cf. Problema de Ozma). Pero esto es mucho más confuso que decir "xyz como su Mano Derecha" sin añadir ninguna profundidad adicional.
Guest
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Siempre me ha parecido que usar la regla de la mano derecha para recordar cómo son las fuerzas, los campos B y las velocidades de las partículas es engañarme un poco intelectualmente.
La respuesta más breve posible es tan sencilla como trivial:
La regla de la mano derecha/izquierda es el resumen más eficaz del experimento en el que electrones en movimiento son desviados por un campo magnético.
La regla describe el comportamiento de los electrones asignando la dirección de los dedos pulgar, índice y corazón a la corriente I, al campo magnético B y a la fuerza de Lorentz F
“I-B-F = thumb-index finger-middle finger"
(la que hay que recordar).
¿Cómo puedo pensar en las direcciones de los vectores de la regla de la mano derecha electromagnética para entender intuitivamente lo que está pasando, en lugar de utilizar el equivalente de una hoja de trucos?
Sólo necesitamos una regla para poder describir cualitativamente multitud de procesos. ¿Quizá lo que realmente quieres es aprender más sobre el proceso de inducción electromagnética? Si no es así tl;dr .
La convención de los polos norte y sur
La norma incluye dos direcciones intuitivas y una convención. La representación de la dirección de movimiento de los electrones (la corriente eléctrica) a través del pulgar es intuitiva. La representación de la dirección resultante de la desviación de los electrones por la orientación del dedo corazón también es intuitiva. Pero, ¿qué ocurre con el campo magnético? Hay que recordar que el index finger points to the north pole. ¿Necesitamos recordarlo?
El campo magnético es un campo dipolar. Siempre tiene dos polos, uno de los cuales llamamos polo norte y el otro polo sur. Hay minerales que son imanes naturales o puedo imantar un trozo de hierro. En ambos casos, los polos no se marcan al principio. Los dos polos del imán atraen por igual un trozo de metal. Entonces, ¿cuál es el polo norte (sur)?
Hay exactamente dos maneras de asignar los polos.
- Tomo un imán ya marcado (todos se remontan al único imán que se marcó por primera vez con la asignación de los polos (es decir, una pura convención)) y deduzco la polaridad de mi imán a partir de la fuerza repulsiva o atractiva.
- Llevo a cabo el experimento I-B-F con mi imán y así encuentro por la dirección de desviación de los electrones la polaridad de mi imán con la regla de la mano derecha. Esto es posible porque los electrones en el campo magnético poseen este comportamiento asimétrico. Esa es su naturaleza.
El comportamiento de las demás cargas eléctricas
El antiprotón tiene la misma dirección de desviación que el electrón. El positrón y el protón, en cambio, se desvían en la otra dirección.
El positrón y el protón tienen carga positiva y la fórmula de la fuerza de Lorentz -que describe cuantitativamente lo que la regla de la mano derecha sólo puede hacer cualitativamente- lo tiene en cuenta. La carga $q$ contiene un signo, que invierte el sentido de acción de la fuerza de Lorentz (la desviación de las cargas) en su dirección.
$\vec {F_\text{B}} = q\vec v \times \vec B$
The right-hand rule also includes the tacit convention that it applies to negative charges.
Otros procesos de inducción electromagnética
Se puede intercambiar cíclicamente la secuencia "I-B-F" y obtener los dos procesos de inducción restantes, utilizados técnicamente en innumerables variantes.
- Ya se ha comentado anteriormente: La fuerza de Lorentz con "I-B->F" describe un motor eléctrico, porque un conductor de corriente en un campo magnético induce una fuerza.
- La cadena causal "B-F->I" describe el generador eléctrico, porque el desplazamiento de un conductor portador de corriente en un campo magnético induce una corriente.
- La cadena causal "F-I->B" describe la creación de un campo magnético, porque la desviación forzada de cargas (como en una bobina, en la que las cargas son forzadas a formar órbitas circulares) induce un campo magnético.
Como puede ver, la regla de la derecha reflejan muchos resultados experimentales.
MRA
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546
El producto cruzado y el rizo y similares surgen, en última instancia, de las matemáticas de las formas, y de algo llamado el dual de Hodge.
Es demasiado para entrar completamente en ello aquí, pero en última instancia, al definir estas cosas, introduces el símbolo Levi-Civita $\epsilon_{abcd...}$ donde tienes el número de índices en el fondo como dimensiones tienes en tu espacio. En tres dimensiones, terminas con:
${\vec A} \times {\vec B} = \epsilon_{abc}A^{a}B^{b}$
y defines el símbolo de Levi Civita de tal manera que:
$$\begin{align} \epsilon_{xyz} &= 1\\ \epsilon_{abc} &= 0 {\rm \;\;\;if \;any\;of\;the\;a,b\;are\;equal\;(ex. }\epsilon_{xyx}=0{\rm )}\\ \epsilon_{abc} &= -\epsilon{bac} = \epsilon_{bca} = -\epsilon_{cba} \end{align}$$
Esto es suficiente para obtener todos los productos cruzados para vectores generales y todo de una "forma más rigurosa" que señalando con los dedos. La elección de la regla de la mano derecha sobre la regla de la mano izquierda es elegir $\epsilon_{xyz} = 1$ en lugar de que sea igual a $-1$ . Pero es mucho más fácil señalar con el dedo que dedicar tiempo a permutar índices como éste.
user1494474
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41
