¿Existe una forma más "físicamente madura" de pensar en la regla de la mano derecha con el electromagnetismo?

Question

Siempre me ha parecido que usar la regla de la mano derecha para recordar cómo son las fuerzas, los campos B y las velocidades de las partículas es engañarme un poco intelectualmente. Es como ser capaz de multiplicar números con los dedos sin saber qué es realmente la multiplicación. Sin embargo, cuando intento "pensar en ello", acabo imaginando lo que harían mis manos en mi cabeza. ¿Cómo puedo pensar en las direcciones de los vectores de la regla de la mano derecha electromagnética para entender intuitivamente lo que está pasando, en lugar de utilizar el equivalente de una hoja de trucos?

Answer 1

Para ampliar la respuesta de hft: en mi opinión, la forma más "físicamente madura" de pensar en esto es interiorizar la comprensión (más bien zen) de que los pseudovectores (como el par o el campo magnético), que resultan de productos cruzados, no tienen ninguna dirección orientada físicamente significativa en absoluto .

Solía creer que si de repente decidíamos cambiar globalmente todos los productos cruzados para utilizar la regla de la izquierda en lugar de la regla de la derecha, entonces todas nuestras fórmulas de física seguirían siendo las mismas, excepto que algunas fórmulas recogerían un signo menos para corregir la nueva orientación de los productos cruzados. Pero esto no es correcto. De hecho, todos de nuestras fórmulas físicas podría permanecer sin cambios idénticamente .

Después de hacer este cambio de convención, todos nuestros pseudovectores cambiarían repentinamente de dirección, pero ninguno de ellos tiene una dirección directamente medible físicamente. Podrías decir "Tonterías - ciertamente hay sensores que miden la dirección de un campo magnético". Pero no directamente medirla (aunque esa afirmación probablemente desencadenará debates filosóficos sobre el significado de la expresión "medir directamente"). En su lugar, el sensor toma internamente un segundo producto cruzado de la velocidad de una carga de prueba y el campo magnético, y mide la dirección de la carga resultante. verdadero vector de fuerza (polar) de Lorentz. Por tanto, siempre que utilices sistemáticamente la regla de la mano izquierda, seguirás obteniendo el mismo vector de fuerza polar en el interior de tu sensor, y sólo tendrás que cambiar tu interpretación de su lectura.

En mi opinión, los pseudovectores no "existen" como vectores en el espacio físico. Sólo son marcadores de posición que más tarde se insertarán en futuros productos cruzados que los convertirán de nuevo en vectores polares físicamente medibles. Así que la mano que elijas utilizar es realmente irrelevante -ni siquiera necesitas cambiar ningún signo en tus fórmulas- siempre que utilices siempre la misma.

Answer 2

¿Cómo puedo pensar en las direcciones de los vectores de la regla de la mano derecha electromagnética para entender intuitivamente lo que está pasando, en lugar de utilizar el equivalente de una hoja de trucos?

No se puede entender intuitivamente porque es una convención. Elegimos la regla de la "mano derecha" y ahora es la norma en todo el mundo. Podríamos haber optado por la regla de la "mano izquierda", pero no lo hicimos.

Como mencioné en los comentarios, creo que los antiguos artículos alemanes de física y química (anteriores a la Segunda Guerra Mundial) utilizaban a menudo la regla de la mano izquierda (o sistemas de coordenadas zurdos).

Answer 3

Si quieres una interpretación con sentido físico: estudia "Álgebra Geométrica". Es un Álgebra de Clifford del espacio. Es un tema complejo que está más allá del alcance de esta respuesta.

En resumen (y me refiero a corto ): En esta versión más fundamental, aunque impopular, del espacio, los productos cruzados son bi-vectores. En 3 dimensiones, ese concepto se representa mediante un plano (para la dirección, también hay una magnitud).

Tenemos un plano: ¿hacia dónde apunta su normal? En cualquier caso, elige una convención. No cambia en nada tu comprensión del plano.

Answer 4

Este post es en parte una respuesta directa a la pregunta, en parte una respuesta a algunas cuestiones planteadas por las otras respuestas, y en parte una cuestión de jabón para mí que hace que mis ganas de escribir se descontrolen, ups.

La cuestión se vuelve algo más interesante si se mira más allá del electromagnetismo. Dentro del electromagnetismo no hay diferencia entre utilizar (coherentemente, para todos productos cruzados) una regla de la izquierda en lugar de la regla convencional de la derecha. Fuera del electromagnetismo, encontramos cantidades de vectores axiales que son físicamente observables. Sin embargo, sigue habiendo una elección arbitraria en cuanto a la etiqueta apropiada para esos vectores axiales observables.

1. El electromagnetismo es ambidiestro

Como dicen sus respuestas existentes: el dirección del campo magnético $\vec B$ es no es realmente un observable. Lo que observamos en los experimentos de electromagnetismo son magnitudes vectoriales (fuerzas, aceleraciones, desplazamientos) o escalares (energías, masas, probabilidades de interacción). Cualquier observable en electromagnetismo ha utilizado la regla de la mano derecha un número par de veces, lo que es indistinguible de haber utilizado la regla de la mano izquierda un número par de veces.

Por ejemplo, consideremos la fuerza de Lorentz sobre una carga o una corriente en movimiento: $$ \vec F = q\vec v\times\vec B = I\ \mathrm d\vec L\times\vec B $$

Aquí el segundo producto cruzado está oculto en la orientación del campo magnético, que ha sido producido por alguna otra corriente $I_2$ : $$ \vec B = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{ I_2\ \mathrm d\vec\ell \times \hat r }{r^2} $$

Puedes describir la fuerza de Lorentz como una interacción corriente-corriente, con las siguientes reglas de manos libres:

1. las corrientes paralelas tienden a atraerse
2. las corrientes antiparalelas tienden a repelerse
3. las corrientes oblicuas tienden a sentir un par de alineación

Deberías ser capaz de convencerte de que un cordón de zapato grande y flexible, transportando una corriente, minimizaría su energía magnética endureciéndose en un círculo. Además, dos bucles de corriente circulares minimizarán su energía reorientándose de modo que los trozos más cercanos de cada bucle sean los más paralelos entre sí, que es la atracción dipolar paralela que enseñamos en el jardín de infancia utilizando imanes permanentes.

Aunque esta formulación corriente-corriente puede satisfacer tu deseo de una mnemotecnia ambidiestra, me parece mucho más desafiante preguntar "hacia qué corriente lejana tenderá a paralelizarse esta carga en movimiento" que preguntar "cómo evoluciona la trayectoria de esta carga en movimiento en esta región de campo magnético." El tratamiento de campo simplifica mucho el seguimiento de si las contribuciones de las corrientes cercanas y lejanas se cancelan exactamente o no. El tratamiento de campo tiene la ventaja de ser local . Además, en mecánica cuántica encontramos interacciones magnéticas entre partículas que son dipolos magnéticos intrínsecos, e insistir en un modelo corriente-corriente nos obligaría a inventar corrientes microscópicas ficticias con algunas propiedades desagradables.

2. Describir la interacción débil todavía requiere un artefacto de referencia

Matemáticamente, describimos la ambidiestría del electromagnetismo definiendo un operador de "paridad", "inversión" o "reflexión", $$ \hat P f(x,y,z) = f(-x, -y, -z) $$

Si la persona que está a tu lado en el lavabo tiene el cepillo de dientes en la mano derecha, su reflejo tiene el cepillo reflejado en la mano izquierda. Tenga en cuenta que un espejo plano sólo cambia "hacia" frente a "lejos". $f \to f(x,y,-z)$ que es una inversión seguida de una rotación. También vale la pena señalar que invertir dos veces es lo mismo que no hacer nada; es decir, $\hat P(\hat P f) = f$ da el mismo resultado que el operador de identidad. Cuando decimos que "el electromagnetismo es invariante bajo transformaciones de paridad", queremos decir que todos los términos matemáticos de la energía de un sistema electromagnético son escalares.

La interacción nuclear débil es especial porque incluye observables pseudoescalares. El más conocido es la asimetría observada por primera vez por Wu y sus colaboradores, en la que una población de núcleos radiactivos de cobalto se polarizaron de modo que sus espines intrínsecos apuntaban mayoritariamente en la misma dirección. Wu observó que era más probable que los electrones de desintegración se emitieran en la dirección del "polo sur" nuclear que en la dirección del "polo norte": una correlación entre el espín nuclear $\vec\sigma$ un vector axial, y el momento del electrón $\vec p$ un vector polar. Esta correlación es necesaria porque los productos de desintegración deben separar una unidad de espín del núcleo de cobalto, por lo que las medias unidades de espín transportadas por el electrón y el antineutrino deben ser paralelas. Sin embargo, la "corriente cargada débil" sólo se acopla a partículas zurdas y antipartículas derechas: el antineutrino y el electrón beta emitido en la desintegración deben en general tienen $\vec\sigma_{\bar\nu}\cdot\vec p_{\bar\nu} > 0$ y $\vec\sigma_{e^-}\cdot\vec p_{e^-} < 0$ .

Si bien esta asimetría en la interacción débil resuelve el problema de Gardener Problema de ozma de distinguir inequívocamente la izquierda de la derecha, en realidad no elimina la necesidad de un objeto de referencia. Mi descripción de la asimetría de Wu, en términos de "polos norte" y "polos sur", elimina la referencia biológica de que la mayoría de los humanos tienen dos manos que son aproximadamente reflejos la una de la otra, y que la mano del mismo lado que el hígado tiende a ser más fuerte que la mano del mismo lado que el corazón. Pero la referencia sustitutiva es que la mayoría de los humanos que estudian física también han estudiado geografía, concretamente geografía según la tradición de Mercator, que vivía en Flandes y puso su casa en la mitad superior de su mapa.

Podríamos quizás (como hizo Gardener, y en el espíritu de recientes mejoras del SI ) elija defina el signo del momento angular utilizando las polarizaciones preferidas de los neutrinos y los electrones beta. Pero la polarización de los neutrinos no es muy útil como mnemotécnica, y la forma en que yo personalmente sigo la pista del "norte" matemático es imaginar que agarro un globo terráqueo con la mano derecha, con los dedos hacia el este.

3. Las definiciones matemáticas siguen conteniendo una fase arbitraria

Tienes varias respuestas que sugieren definiciones matemáticas, como el símbolo de Levi-Civita. Esto en realidad no te aporta nada. Siguiendo con la interacción débil, considere que el Lagrangiano del Modelo Estándar es una extensión del Ecuación de Dirac que predecía la antimateria utilizando un argumento de simetría según el cual el campo de electrones debería contener dos estados de espín, cada uno con dos estados de carga. Es decir, el electrón de Dirac es un "espinor" de cuatro componentes, con una representación como $$ \psi = \left( \begin{array}{c} \displaystyle{ e_L^- \choose e_R^- } \\ \displaystyle{ e_L^+ \choose e_R^+ } \end{array} \right) $$

Estos espinores se manipulan utilizando el cuatro por cuatro matrices gamma cuatro de los cuales $(\gamma^0,\vec\gamma)$ se transforman entre sí bajo rotaciones y aumentos de la misma manera que un vector polar relativista. Resulta útil definir una quinta matriz, $$ \gamma^5 = i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 $$ que tiene (entre otras) la propiedad de que $\gamma^5 \cdot\gamma^5$ es la matriz de identidad. Sus vectores propios son las partes derecha e izquierda del espinor, $$ \psi_L = \frac{1 - \gamma^5}2 \psi \qquad \psi_R = \frac{1 + \gamma^5}2 \psi $$ donde el espinor "izquierdo" es el que tiene el valor propio $-1$ .

Muchas discusiones sobre la violación de paridad en la interacción débil, especialmente las más antiguas, dirán que el signo de la violación de paridad significa que "la interacción débil es $V$ menos $A$ " en algún lugar cerca de donde dicen "la interacción débil es zurda". El "menos" se refiere al signo en $\psi_L$ , porque un término como $\bar\psi_L W \psi_L$ aparece en el Lagrangiano del Modelo Estándar, mientras que $\bar\psi_R W \psi_R$ falta.

Pero: todo esto no es más que una convención. Supongamos que nos gustan los productos cruzados a la izquierda y, por tanto, los sistemas de coordenadas a la izquierda. La herramienta para llegar al mundo especular es el operador de inversión. Nuestras reglas de inversión exigen que $\hat P \cdot (\gamma^0,\vec\gamma) = (\gamma^0, -\vec\gamma)$ por lo que el efecto sobre la quinta matriz es $$ \hat P \gamma^5 = (-1)^3 i \gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 $$

Seguimos teniendo el mismo objeto físico que está acoplado al $W^\pm$ bosón. Quizás deberíamos haberlo llamado $\psi_\text{Larry}$ destacar que la $L$ es sólo una etiqueta, porque nuestra persona reflejada creería que tenemos el valor propio equivocado, que $\gamma^5 \psi_\text{Larry} = +\psi_\text{Larry}$ y los libros de historia reflejados dirían "la interacción débil es $V$ y $A$ ."

4. No tienes telequinesis

Desde un punto de vista filosófico, si se puede cambiar un número con sólo pensarlo de forma diferente en el cerebro, ese número no es un observable físico. Un comentario en otra respuesta reflexiona

Parece que la propia naturaleza del espacio tridimensional te obligaría a "elegir" una [lateralidad] u otra.

Esto es y no es cierto. El espacio tridimensional no es lo bastante complejo como para tener una lateralidad intrínseca. Pero lo que queremos decir cuando hablamos del "Modelo Estándar" es en realidad una lista de propiedades exhibidas por el vacío de nuestro espaciotiempo cuatridimensional, y nuestro espaciotiempo cuatridimensional hace tienen observables pseudoescalares. El espaciotiempo es "chiflado" en el sentido de que, como un cierre roscado, existe una correlación entre el momento angular y el momento lineal. No creo que se sepa si esta correlación es realmente intrínseca, de un modo que nuestros cerebros de primate pudieran encontrar tanto "intuitivo" como "necesario". Otra posibilidad es que este débil atornillamiento intrínseco sea una simetría rota espontáneamente, como la dirección de la polarización de un ferromagneto, y si pudiéramos conseguir que una región del espaciotiempo se calentara lo suficiente la simetría podría restaurarse temporalmente y romperse en una dirección diferente al enfriarse.

Pero para el electromagnetismo, el único papel de la lateralidad es en comunicar acerca de intermedio resultados. Y en cuanto a la "madurez": en la comunidad de investigadores sobre la violación de la paridad, todo el mundo de vez en cuando se detienen a mitad de la frase, hacen un pequeño gesto con la mano derecha y dicen "no, espera, quería decir ". este camino" antes de continuar.

Answer 5

Otras respuestas establecen bien que se trata de una convención arbitraria, pero también te preguntas por qué cuando intentas pensar en esta convención siempre vuelves a imaginar tu mano. Esto se debe a que no hay forma de comunicar las direcciones quirales (izquierda/derecha, sentido horario/antihorario) sin un artefacto físico de referencia (o posiblemente un acelerador de partículas y el conocimiento de las violaciones de CP).

El hecho de que llamemos a los sentidos de rotación "agujas del reloj/antihorario" es una buena pista: la mejor forma de hablar de ello es hacer referencia a un artefacto familiar, un reloj. Si habláramos con un ser humano criado en una caja sin rasgos distintivos, no tendríamos forma alguna de decirle cuál de sus manos es la derecha, a menos que recurriéramos a la asimetría de su propio cuerpo (por ejemplo, diciéndole que su corazón está en el lado designado como "izquierdo" y esperando que no haya nacido con situs inversus). Si hablaras con un extraterrestre por radio, te resultaría difícil sincronizar tu comprensión de la dirección con la suya, a menos que conocieras su ubicación y pudieras crear un artefacto físico a partir de las estrellas (por ejemplo, diciéndole que una determinada secuencia de púlsares gira "en el sentido de las agujas del reloj" alrededor de la Tierra desde su perspectiva).

Así que si la regla de la mano derecha te parece infantil, recuerda que es tan infantil como la palabra "agujas del reloj". No importa lo espabilado que seas, aprendiste las direcciones quirales de un artefacto y simplemente memorizaste ese artefacto.