Si $f^{-1}[\cap_{i\in i}B_i]\subseteq f^{-1}[B_i]\Rightarrow f^{-1}[\cap_{i\in i}B_i]\subseteq \cap_{i\in I}f^{-1}[B_i]$

Question

Puede que me esté perdiendo algo trivial, consigo demostrar que para todo $i\in I$ obtenemos $$f^{-1}[\cap_{i \in I}B_i]\subseteq f^{-1}[B_i]$$

Ahora, ¿por qué puedo tomar la intersección y decir que:

$$f^{-1}[\cap_{i \in I}B_i]\subseteq \cap_{i\in I}f^{-1}[B_i]$$

Answer 1

Si tiene un conjunto $S$ y una familia de conjuntos $\{S_\lambda\,|\,\lambda\in\Lambda\}$ entonces, por definición de intersección, afirmando que $S\subset\bigcap_{\lambda\in\Lambda}S_\lambda$ es lo mismo que afirmar que $(\forall\lambda\in\Lambda):S\subset S_\lambda$ .

Por lo tanto, ya que, $$(\forall i\in I):f^{-1}\left(\bigcap_{i\in I}B_i\right)\subset f^{-1}(B_i),$$ se deduce que $$f^{-1}\left(\bigcap_{i\in I}B_i\right)\subset\bigcap_{i\in I}f^{-1}(B_i).$$