Sea $\Sigma$ sea una superficie orientada cerrada y $G$ un grupo Lie conexo. Entonces, se sabe que
principal $G$ - $P\to\Sigma$ se clasifican topológicamente mediante una clase característica $c(P)\in H^2(\Sigma,\pi_1 G)\cong\pi_1 G$ .
¿Por qué es cierto? ¿Alguna referencia? Gracias.
No conozco ninguna referencia, pero esto se deduce de la teoría de los espacios clasificatorios y de un poco de teoría de la homotopía. (Después de haber escrito la respuesta, ahora me doy cuenta de que probablemente haya una respuesta más fácil utilizando la teoría de obstrucciones).
Sea $G$ sea un grupo topológico, entonces existe un espacio topológico $BG$ y un director $G$ -paquete $EG \to BG$ llamado el principal universal $G$ -bundle. Se denomina así porque para cualquier principal $G$ -sobre un espacio paracompacto $X$ existe un mapa (único hasta la homotopía) $f : X \to BG$ tal que $f^*EG \to X$ es isomorfo al principal dado $G$ -paquete. El haz universal está determinado unívocamente (hasta isomorfismo) por el hecho de que $EG$ es débilmente contractible.
De ello se deduce que las clases de isomorfismo de principal $G$ -que se denominan $\operatorname{Prin}_G(X)$ están en correspondencia uno a uno con clases homotópicas de mapas $X \to BG$ denotado $[X, BG]$ . En concreto, para el caso que nos pregunta, tenemos $\operatorname{Prin}_G(\Sigma) = [\Sigma, BG]$ .
La secuencia exacta larga en homotopía aplicada al principal universal $G$ -paquete $EG \to BG$ da
$$\dots \pi_{n+1}(EG) \to \pi_{n+1}(BG) \to \pi_n(G) \to \pi_n(EG) \to \dots$$
En $EG$ es débilmente contractible, vemos que $\pi_{n+1}(BG) = \pi_n(G)$ .
Si $X$ es un $n$ -complejo CW dimensional y $Y$ es un complejo CW, entonces se deduce de la teorema de aproximación celular que $[X, Y] = [X, Y^{(n+1)}]$ donde $Y^{(n+1)}$ denota el $(n+1)$ -esqueleto de $Y$ . Si $X$ y $Y$ son puntiformes, entonces lo mismo ocurre con las clases de homotopía que conservan el punto base. En particular, $\pi_n(Y) = \pi_n(Y^{(n+1)})$ .
Puede adjuntar celdas a $BG$ de dimensión al menos cuatro para que el espacio resultante, llamémoslo $Z$ tiene $\pi_n(Z) = 0$ para $n \geq 3$ (adjuntar un $(n + 1)$ -para cada generador de $\pi_n(BG)$ )*. Además, como las celdas que se añadieron eran de dimensión al menos cinco, $Z$ tiene el mismo $3$ -esqueleto como $BG$ . De nuevo por aproximación celular, $\pi_2(Z) = \pi_2(Z^{(3)}) = \pi_2(BG^{(3)}) = \pi_2(BG) = \pi_1(G)$ (nota, esto implica $\pi_1(G)$ es abeliano), e igualmente $\pi_1(Z) = \pi_1(BG) = \pi_0(G) = 0$ como $G$ está conectado. Por lo tanto $Z$ es un Espacio de Eilenberg-MacLane a saber $Z = K(\pi_1(G), 2)$ .
El mapa de identidad $\operatorname{id} : \pi_1(G) \cong \pi_2(K(\pi_1(G), 2)) \cong H_2(K(\pi_1(G), 2); \mathbb{Z}) \to \pi_1(G)$ da lugar a un elemento de $\operatorname{Hom}(H_2(K(\pi_1(G), 2); \mathbb{Z}), \pi_1(G))$ y por tanto** a un elemento $\alpha \in H^2(K(\pi_1(G), 2); \pi_1(G))$ . Para cualquier $[g] \in [\Sigma, K(\pi_1(G), 2)]$ , $[g] \mapsto g^*\alpha \in H^2(\Sigma; \pi_1(G))$ define una biyección $[\Sigma, K(\pi_1(G), 2)] \to H^2(\Sigma; \pi_1(G))$ por lo que vemos que
$$\operatorname{Prin}_G(\Sigma) = [\Sigma, BG] = [\Sigma, BG^{(3)}] = [\Sigma, Z^{(3)}] = [\Sigma, Z] = [\Sigma, K(\pi_1(G), 2)] = H^2(\Sigma; \pi_1(G)).$$
Tenemos una inclusión $\iota : BG \to K(\pi_1(G), 2)$ . El isomorfismo global $[\Sigma, BG] \to [X, K(\pi_1(G), 2)]$ viene dada por $[f] \mapsto [\iota\circ f]$ . Por lo tanto, el isomorfismo $[\Sigma, BG] \to H^2(\Sigma; \pi_1(G))$ viene dado por $[f] \mapsto (\iota\circ f)^*\alpha = f^*(\iota^*\alpha) = f^*\beta$ donde $\beta := \iota^*\alpha \in H^2(BG; \pi_1(G))$ .
Si $P \to \Sigma$ es un director $G$ -entonces $c(P) \in H^2(\Sigma; \pi_1(G))$ viene dada por $c(P) = f^*\beta$ donde $f : \Sigma \to BG$ es un mapa clasificador para $P$ .
En $\Sigma$ está cerrado y orientado, $H^2(\Sigma; \pi_1(G)) \cong \pi_1(G)$ de hecho, sólo necesita $\Sigma$ ser orientable para que esto se cumpla. Para ciertos grupos $\pi_1(G)$ (por ejemplo $\mathbb{Z}_2^k$ ), el isomorfismo se mantiene incluso en el caso no orientable. Si $\Sigma$ no está cerrado, entonces $\Sigma$ es homotópicamente equivalente a un ramillete de círculos, por lo que $H^2(\Sigma; \pi_1(G)) = 0$ y, por tanto, todos los principales $G$ -bundles over $\Sigma$ son triviales.
Si se parte de la base de que $G$ también es simplemente conexo, entonces se puede utilizar el mismo argumento para demostrar que principal $G$ - $P \to M$ donde $M$ es una variedad (o incluso sólo un complejo CW) de dimensión hasta cuatro se clasifican por una clase característica $c(P) \in H^4(M; \pi_3(G))$ . Por ejemplo, en esta respuesta el argumento anterior se aplica cuando $G = SU(2)$ y la clase característica $c(P)$ se identifica como $c_2(P)$ (o posiblemente $-c_2(P)$ ).
*De hecho, $\pi_3(BG) = \pi_2(G) = 0$ ya que el segundo grupo homotópico de un grupo de Lie es siempre cero, por lo que ni siquiera necesitamos añadir ninguna celda cuatridimensional y, por lo tanto $Z$ y $BG$ tienen el mismo $4$ -esqueleto (no es que necesitemos este dato).
**Aquí estamos utilizando el hecho de que $\pi_1(G)$ es abeliano, y por tanto a $\mathbb{Z}$ -por lo que podemos utilizar el módulo Teorema del coeficiente universal para la cohomología .
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