Pregunta sobre la definición de integral impropia.

Question

Mi libro define $$ \int_{-\infty}^{\infty}f(x) dx = \int_{-\infty}^{a}f(x)dx + \int_a^{\infty}f(x) dx$$ Cuando:

1) $f(x)$ es integrable en $[t,t']$ para cualquier $t, t' \in \Bbb R$ $ (t<t')$ y

2) $a \in \Bbb R$ de forma que $ \int_{-\infty}^{a}f(x)dx $ y $ \int_a^{\infty}f(x) dx$ existe.

Me pregunto si la primera condición es necesaria o no. Si la segunda se cumple para algunos $a\in \Bbb R$ entonces $f$ es integrable en cualquier intervalo de todos modos, así que ¿no se cumple la primera condición?

Answer 1

La primera condición está ahí para garantizar que la segunda tenga sentido.

Answer 2

Tomemos por ejemplo la función : $$x \mapsto x$$

Entonces, en cualquier conjunto compacto $[a, b]$ tenemos :

$$\int_a^b x \mathrm{d}x = 0.5(\frac{b^2}{2}-\frac{a^2}{2})$$

Así que es claramente integrable en cualquier conjunto compacto.

Sin embargo, tenemos :

$$\int_{\mathbb{R_+}} x = \infty$$

Así que ambas definiciones son importantes. Como dijo José Carlos Santos, la primera definición está ahí para que la otra tenga sentido. Porque $\int_a^{\infty} f $ se define esencialmente como :

$$ \int_I f = \sup_{J \subset I} \int_I f$$

Nótese que tampoco tenemos la equivalencia :

$$\lim_{x \rightarrow \infty} \int_{-x}^{x} f \text{ is integrable}\Leftrightarrow \int_{\mathbb{R}} f \text{ is integrable}$$