Cómo formalizar las pruebas

Question

Estoy luchando un poco con mi curso de matemáticas discretas y me preguntaba si alguien podría ayudarme con mi tarea. La pregunta que estoy trabajando es,

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Demuestra que si a y b son enteros positivos, entonces $\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a} \ge 2$

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Esto es lo que he anotado hasta ahora, pero no estoy seguro de si es correcto o no...

Prueba:

Supongamos que a, y b son números enteros positivos. Supongamos que a = 1, y b = 1 ya que son los enteros positivos más pequeños. Entonces,

$\frac{1}{1} + \frac{1}{1} \ge 2 = 2 \ge 2$

Por lo tanto, sabemos que todos los enteros positivos darían como resultado $> 2$

No estoy seguro de cómo escribir esto más correctamente si alguien puede dar algunos consejos.

Answer 1

Pista: Simplifica la desigualdad que quieres demostrar despejando los denominadores, entonces date cuenta de que lo que intentas demostrar es equivalente a $(a-b)^2\ge 0$ . Entonces puedes escribir una prueba muy corta.

Por cierto, la desigualdad es válida para todos los reales positivos, no sólo para los enteros. Enunciarla para los enteros puede desorientarte, ya que puedes inclinarte a intentar la inducción y perderte la sencilla demostración.

Answer 2

Está claro que si $a=b$ entonces se cumple la igualdad. Supongamos ahora que $a>b$ de modo que $a-b>0$ y $$ (a-b)^{2}>0 \\ a^2-2ab+b^2>0 \\ a^2+b^2>2ab \\ \dfrac{a^2+b^2}{ab}>2 $$ y esta última fracción es la misma que $ \dfrac{a}{b}+ \dfrac{b}{a}$ .