Encuentre $\lim_{n\rightarrow \infty }\left(\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{e^{\frac{k}{n}}}{n}}\right)$ .

Question

Encuentre $$\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( \frac{1}{n} + \frac{e^{\frac{1}{n}}}{n} + \frac{e^{\frac{2}{n}}}{n} + \frac{e^{\frac{3}{n}}}{n}+.....+ \frac{e^{\frac{n-1}{n}}}{n}\right ).$$

Resolviendo un poco y aplicando GP, obtuve

$\left ( e-1 \right )\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{1}{n.\left ( e^{\frac{1}{n}} -1 \right )}$

Ahora, el límite da la expresión como

$\left ( e-1 \right )\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{1}{\infty *0}$

¿Cómo lo encuentro ahora? ¿Debo utilizar el $\frac{0}{0}$ ¿Forma?

Answer 1

Puedes seguir con tu forma de pensar. Usando la fórmula de progresión geométrica tenemos que la suma es igual a:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{e- 1}{n(e^{\frac 1n}-1)}$$

Ahora puedes cambiar a números reales y utilizar el hecho de que:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n(e^{\frac 1n}-1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac 1x}-1}{\frac 1x}} = \frac{1}{\lim_{x \to \infty} \frac{e^{\frac 1x}-1}{\frac 1x - 0}} = \frac{1}{(e^x)'|_{x=0}} = \frac{1}{e^0} = 1$$

Por lo tanto, la suma es igual a $e-1$

Answer 2

Pista: es la suma de Riemann de la integral siguiente:

$$\int_0^1e^x\ dx$$

Que se resuelve fácilmente para dar $e-1$ .

Answer 3

¡Ya estabas bastante cerca con tu propio camino!:

$$\lim_{n\to\infty}\frac1{n\left(e^{1/n}-1\right)}\stackrel{x:=\frac1n}=\lim_{x\to0}\frac x{e^x-1}$$

Y ahora observe que

$$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}x=\left(e^x\right)'|_{x=0}=e^0=1$$

Answer 4

@Jon Garrick: solo reenviando tu respuesta $$\displaystyle\left ( e-1 \right )\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{1}{n.\left ( e^{\frac{1}{n}} -1 \right )}$$ $$\displaystyle\left ( e-1 \right )\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{1}{n.\left ( 1+\frac1n+O(\frac1{n^2}) -1 \right )}=\displaystyle\left ( e-1 \right )\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{1}{\left ( 1+O(\frac1{n})\right )}=e-1$$