El siguiente dato le será de utilidad:
Es un hecho. Sea $I$ sea un intervalo, y sea $h: I \to \mathbb{R}$ sea una función monótona. Entonces, para cualquier $a$ , $\lim_{x \to a^+}$ y $\lim_{x \to a^-}$ existe.
Pregunta 1
Mostrar si $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ es una función tal que $f(0)<0<f(1)$ y existe una función continua $g:[0,1]\to \mathbb{R}$ tal que $f+g$ es decreciente, entonces existe un $\omega \in (0,1)$ tal que $f(\omega)=0$ .
Sea $h(x) = f(x) + g(x)$ sea decreciente. Sea $$ a = \sup \{ x \; : \; f(x) < 0\} $$ Desde $h$ es decreciente, tenemos $$ \lim_{x \to a^-} h(x) \ge h(a) \ge \lim_{x \to a^+} h(x) $$ Desde $g$ es continua y $f = h - g$ lo anterior implica $\lim_{x \to a^+} f(x)$ y $\lim_{x \to a^-} f(x)$ existen, y $$ \lim_{x \to a^-} f(x) \ge f(a) \ge \lim_{x \to a^+} f(x) $$ Ahora bien, por definición $a$ , debemos tener $\lim\limits_{x \to a^+} f(x) \ge 0$ . Esto implica $f(a) \ge 0$ , por lo que de nuevo por definición de $a$ , debe existir una secuencia $x_n$ aumentando a $a$ tal que $f(x_n) < 0$ Así que $\lim\limits_{x \to a^-} f(x) \le 0$ . Por lo tanto, $$ 0 \ge \lim_{x \to a^-} f(x) \ge f(a) \ge \lim_{x \to a^+} f(x) \ge 0. $$
Pregunta 2
Si es cierto que para cualquier función $f$ que satisface la propiedad Valor intermedio en $[0,1]$ existe una función continua $g$ en $[0,1]$ tal que $f+g$ es estrictamente monótona en un subintervalo de $[0,1]$ ?
Suponiendo que estoy interpretando correctamente su pregunta, la respuesta es no. Por el hecho al principio de esta respuesta, una función monótona y una función continua se suman para obtener una función tal que el límite izquierdo y derecho existen en todas partes, es decir la función sólo tiene disconinuidades de salto. Pero por otro lado algunas funciones que satisfacen la propiedad del valor intermedio no tienen un límite izquierdo y derecho en todas partes. Por ejemplo, tomemos el famoso ejemplo de $$ f(x) = \begin{cases} \sin(1/x) & \text{if } x > 0 \\ 0 & \text{if } x = 0. \end{cases} $$
Las funciones que cumplen la propiedad de valor intermedio se denominan "Funciones Darboux" , y pueden ser extremadamente irregulares. En particular, una función de Darboux no tiene discontinuidades de salto, sino sólo discontinuidades esenciales (uno de los límites izquierdo y derecho no debe existir). Este hecho por sí solo dice que la inversa (es decir, la pregunta 2) debe ser falsa, porque si no entonces todas las funciones de Darboux serían continuas.
