¿Existe un número congruente con 1 módulo a infinitos primos?

Question

Sea $A=\left\{ p_{r},p_{r+1},\dots\right\}$ un conjunto (infinito) de números primos consecutivos (si lo prefiere, si $\mathfrak{P}$ es el conjunto de todos los números primos, $A=\mathfrak{P}-\left\{ 2,\dots,p_{r-1}\right\}$ ).

Quiero demostrar que no existe un número natural $n$ tal que $$n\equiv1\textrm{ mod }p_{i},\,\forall i=r,r+1,\dots$$

Creo que es verdad, pero no estoy seguro. ¿Me equivoco?

Answer 1

Si permite que $n=1$ su afirmación es falsa.

Si $n>1$ se impone, basta con observar que habrá un primo $p_i$ en su lista mayor que $n$ y $n$ no es ciertamente $1$ módulo de este primo.

Answer 2

Suponiendo que se quiera excluir el caso trivial $n=1$ :

Pista: Desde $A$ es un subconjunto infinito de $\Bbb N$ , $n$ no es un límite superior.

Otra forma : $n<p_n$ (si $p_n\notin A$ toma $\min A$ en lugar de $p_n$ ).

Otra forma : Tomemos un divisor primo de $n!+1$ . Si no está en $A$ Toma $\min A$ .

Answer 3

Supongamos que $n>1$ . Entonces $$p_r\cdot p_{r+1}\cdots \mid n-1$$ lo que significa $$p_r\cdot p_{r+1}\cdots\leq n-1$$
El lado izquierdo tiende a infinito mientras que el lado derecho es un número fijo $n-1$ . ¡Bingo!