Sea $\frak g$ sea un álgebra de Lie simple compleja de dimensión finita y $V$ ser un $\frak g$ -con pesos limitados por encima por algún peso fijo y supongamos que $V$ es localmente finito-dimensional. Cómo demostrar que el conjunto de pesos de $V$ ¿es finito?
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YequalsX
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No estoy seguro del concepto de pesos para un álgebra de Lie arbitraria $\mathfrak g$ así que supongamos que $\mathfrak g$ es semisimple. [Añadido: Desde que se escribió esto, el OP ha editado la pregunta para especificar que $\mathfrak g$ es de hecho simple; así que esta hipótesis está bien].
Entonces cualquier $\mathfrak g$ rep. es la suma directa de las simples. Dado que $V$ es localmente finito-dimensional, es el límite directo de sus subrep. finito-dimensionales, y por lo tanto es a su vez una suma directa de subrep. simples, digamos $V = \bigoplus_{i} V_{\lambda_i},$ donde $V_{\lambda_i}$ es una repetición del peso más alto $i$ . Dado que los pesos de $V$ están acotados por encima, el $\lambda_i$ están acotados, y por tanto (aunque el conjunto de índices de $i$ puede ser infinito) el $\lambda_i$ sobre un conjunto finito de pesos. Por lo tanto, los pesos del $V_{\lambda_i}$ abarcan un conjunto finito de pesos y, por tanto, también los de $V$ .
