Los cursos típicos sobre integración real dedican mucho tiempo a definir la medida de Lebesgue y luego dedican otro montón de tiempo a definir la integral con respecto a una medida. Esto se critica a veces por ser ineficaz o indirecto (véase, por ejemplo, la pregunta "¿Por qué la integral no se define como el área bajo la gráfica de la función?". ) y se podría buscar una forma de definir la integral de Lebesgue directamente, sin mencionar medidas en absoluto (la medida de Lebesgue puede entonces definirse retrospectivamente como la integral de la función característica, haciendo que sus propiedades sean obvias si las de la integral se obtienen correctamente).
Ahora bien, hace algunos años, impartí un curso sobre análisis real (que yo mismo no había escrito, concebido u organizado) utilizando la siguiente definición de la integral de Lebesgue sobre $\mathbb{R}$ :
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En primer lugar, defina una "función escalón" $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ como una combinación lineal finita de funciones características de intervalos, y la integral de dicha función como la forma lineal que toma la función característica de $I$ a la longitud de $I$ .
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A continuación, decimos que $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es integrable si existe una serie $(\Sigma f_n)$ de funciones escalonadas tales que $\sum_{n=0}^{+\infty} \int|f_n| < +\infty$ y tal que $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)$ para cada $x$ para la que converge la RHS ( editar (véase más abajo) absolutamente ; y cuando éste sea el caso, definimos $\int f := \sum_{n=0}^{+\infty}\int f_n$ .
Esto proporciona una definición muy breve de lo que es una función Lebesgue-integrable, sin pasar por el rodeo de definir primero la medida. Ahora bien, no todo es de color de rosa: hay que comprobar que esta definición tiene sentido y que satisface las propiedades habituales de la integral de Lebesgue. (E incluso si se sabe de antemano qué es la integral de Lebesgue, no es del todo obvio que esta definición la reconstruya, porque no es trivial que se pueda construir una serie $(\Sigma f_n)$ de funciones escalonadas que converge a $f(x)$ en cada punto donde converge).
(También mencioné esta definición de pasada en la pregunta "¿Puede definirse la integral de Riemann mediante un proceso de cierre/completación?" )
Pero en fin, mi pregunta es : ¿a quién se le ocurrió esta definición? ¿Alguien más la ha visto? ¿Cuál es su historia? ¿Y hay algún curso destacado de integración real que la utilice?
Edición / corrección: Tras el comentario de Willie Wong a la respuesta de Kostya_I, me doy cuenta de que había recordado mal la definición, es " $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)$ para cada $x$ para el cual el RHS converge absolutamente" (es decir, $\sum_{n=0}^{+\infty} |f_n(x)| < +\infty$ ) en lugar de simplemente " para la que converge la RHS", por lo que parece que Jan Mikusinski es efectivamente el autor de la definición I quería decir para escribir. Pero esto plantea la cuestión de si la definición que tenía en realidad escrito (con "converge" en lugar de "converge absolutamente") es diferente o si esto es irrelevante: si alguien quiere intentarlo, ¡que lo haga!
