¿Puede la superficie Hirzebruch $F_2:=\mathbb{P}(\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(2))$ obtenerse mediante algún cociente GIT de $\mathbb{P}^4$ (o $\mathbb{C}^4$ )?
Respuesta
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Dependiendo de la interpretación de su pregunta, la respuesta es Sí .
De hecho, la superficie de Hirzebruch $\mathbb{F}_n =\mathbb{P}(\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(n))$ es el cociente de $X = \mathbb{A}^2 \setminus \{0\} \times \mathbb{A}^2 \setminus \{0\}$ con respecto a la acción del grupo $$ \mathbb{G}_m^2 \times X \to X, \quad (\lambda,\mu) \cdot (s,t;x,y) = (\lambda s, \lambda t; \mu x, \lambda^{-n} \mu y).$$
Desde una perspectiva intelectual, tal realización existe como $\mathbb{F}_n$ es tórica. (Toda variedad tórica es un cociente de un subconjunto abierto de un espacio afín por la acción de algún grupo multiplicativo, por la teoría de anillos de Cox).
