Superficie Hirzebruch F2

Question

¿Puede la superficie Hirzebruch $F_2:=\mathbb{P}(\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(2))$ obtenerse mediante algún cociente GIT de $\mathbb{P}^4$ (o $\mathbb{C}^4$ )?

Answer 1

Dependiendo de la interpretación de su pregunta, la respuesta es Sí .

De hecho, la superficie de Hirzebruch $\mathbb{F}_n =\mathbb{P}(\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(n))$ es el cociente de $X = \mathbb{A}^2 \setminus \{0\} \times \mathbb{A}^2 \setminus \{0\}$ con respecto a la acción del grupo $$\mathbb{G}_m^2 \times X \to X, \quad (\lambda,\mu) \cdot (s,t;x,y) = (\lambda s, \lambda t; \mu x, \lambda^{-n} \mu y).$$

Desde una perspectiva intelectual, tal realización existe como $\mathbb{F}_n$ es tórica. (Toda variedad tórica es un cociente de un subconjunto abierto de un espacio afín por la acción de algún grupo multiplicativo, por la teoría de anillos de Cox).