No he visto que esto se diga explícitamente en ningún sitio. Estoy leyendo el libro de Halmos sobre teoría ingenua de conjuntos, y define una familia como una función de un conjunto indexado a un conjunto indexado. En realidad nunca dice que la función sea uno a uno. Ya que, por intuición parece que no es práctico que a un elemento del conjunto indexado se le asignen dos índices diferentes. Entonces, como sugiere el título, ¿está obviamente implícito que una familia es una función uno a uno? Gracias de antemano.
Respuestas
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David Dinh
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No es necesario que la función sea unívoca.
Es posible (y práctico) que un elemento del conjunto indexado reciba dos índices diferentes. Sólo significa que hay elementos repetidos en la familia (y también significa que permitimos elementos repetidos en una familia).
Una pregunta natural es: ¿cuándo necesitamos estas herramientas? Hay casos en los que queremos hablar de algo más que de los elementos del conjunto. Un ejemplo que ilustra esto es una secuencia. La secuencia $a_n = (-1)^n$ es una familia indexada por $\mathbb{N}$ . Esta familia contiene más información que el conjunto $\{-1,1\}$ . Describe un movimiento entre $-1$ y $1$ de forma alterna.
pje
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No, se permite que la función índice sea no inyectiva. En algunos casos es incluso extremadamente útil trabajar con funciones no inyectivas. Consideremos, por ejemplo, los productos de conjuntos $P=\prod_{i=1}^nX_i$ . Aquí $\{X_i\}$ es una familia indexada de conjuntos. El conjunto índice es $\{1,\ldots,n\}$ y la función índice asocia el conjunto $X_i$ al índice $i$ . Si exigimos que las funciones índice sean inyectivas, entonces todos los factores de $P$ deben ser distintos y nunca obtendríamos objetos como $\mathbb R^n$ con factores idénticos $X_i= \mathbb R$ .
