Esto puede ser subjetivo, pero ¿alguien tiene alguna idea de por qué es así? Se me ocurrió pensando que también es el octavo primo de Mersenne (2^31-1=2147483647).
Ahora me pregunto por qué puede ser así.
ACTUALIZACIÓN: Se ha señalado que la relación no se mantiene necesariamente para clases de almacenamiento mayores, por ejemplo, 2^63 - 1 no es primo.
¿Por qué $3$ ¿Primera? La verdad es que no sé si hay respuestas significativas a este tipo de preguntas. Lo mejor que se me ocurre son algunas razones por las que no es obviamente compuesto, por ejemplo, ya que $5$ es primo $2^5 - 1 = 31$ no es obviamente compuesto (y resulta ser primo) de ahí que $2^{31} - 1$ no es obviamente compuesto. Se trata de dos aplicaciones del "lema" de que si $p$ es primo, entonces $2^p - 1$ no es obviamente compuesto.
Obsérvese que cualquier factor primo de $2^p - 1$ tiene que ser congruente con $1 \bmod p$ por el pequeño teorema de Fermat, por lo que es "más fácil" que tales números sean primos.
El mayor primo de 64 bits es 18446744073709551557, según http://msdn.microsoft.com/en-us/library/ee621251.aspx . Ver también http://primes.utm.edu/lists/2small/0bit.html
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