¿Producto tensorial, producto cuña, producto de Hodge, díada o qué?

Question

Supongamos que tengo dos vectores $\mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3)$ y $\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)$ en $\mathbb{R}^3$ . Puedo considerar $\mathbf{u}$ como $3 \times 1$ matriz, y $\mathbf{v}$ como $1 \times 3$ matriz, y luego puedo formar su producto para obtener una $3 \times 3$ que a veces se denomina $\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}$ : $$\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \begin{bmatrix} u_1v_1 & u_1v_2 & u_1v_3 \\ u_2v_1 & u_2v_2 & u_2v_3 \\ u_3v_1 & u_3v_2 & u_3v_3 \\ \end{bmatrix}$$ Parece que esta cosa sería muy útil para escribir fórmulas vectoriales en geometría 3D, que es lo que me interesa.

Así pues, mis preguntas concretas son:

(1) ¿Cómo se llama esta cosa? Los nombres "producto tensorial", "producto cuña" y "producto de Hodge" parecen todos relacionados de alguna manera, pero ninguno de ellos parece encajar perfectamente. ¿Producto exterior o díada, tal vez?

(2) ¿Dónde puedo encontrar una descripción sistemática de sus propiedades algebraicas? Debe de haber muchas relaciones entre esta cosa y los antiguos productos vectoriales punto y cruz. Es muy interesante que $(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})\mathbf{w} = \mathbf{u} (\mathbf{v}\otimes \mathbf{w})$ por ejemplo.

(3) ¿Hay alguna interpretación geométrica (como ocurre con los productos punto y cruz)?

Me interesa la geometría tridimensional, no las abstracciones, así que sería preferible obtener respuestas concretas y sencillas, por favor.

Answer 1

Es el producto tensorial de los vectores $u,v$ . La operación de producto tensorial es bastante general, pero en el caso de $2$ vectores a veces se utiliza el nombre más sencillo de "producto exterior".

Las propiedades algebraicas que quieres conocer provienen de las propiedades del producto tensorial. Por ejemplo, para ver que

$$(u \cdot v)w = u(v \otimes w)$$

Elige un cuarto vector $z$ . Entonces

$$u(v \otimes w)z^{T} = (u \cdot v)(w \cdot z) = (u \cdot v)w z^{T}$$

De modo que ambos lados definen el mismo mapa lineal y, por tanto, deben ser iguales.

Por último, en cuanto a la intuición geométrica, el producto tensorial es una herramienta algebraica general que no siempre tiene una explicación geométrica. Sin embargo, se puede decir que estos objetos son útiles en geometría porque un tensor es un objeto lineal que se comporta bien bajo un cambio de coordenadas, por lo que siempre es útil desarrollar construcciones geométricas en torno al marco de los tensores y los productos tensoriales.