Mayor divisor de $P(n) = (n + 1)(n + 3)(n + 5)(n + 7)(n + 9)$

Question

Sea $P(n) = (n + 1)(n + 3)(n + 5)(n + 7)(n + 9)$ . ¿Cuál es el mayor número entero que es divisor de $P(n)$ para todos los números enteros pares positivos $n$ ?

Veo que obviamente es divisible por $3$ y $5$ y por lo tanto la respuesta es $15$ pero no puedo probarlo.

Answer 1

En $P(0)=1\cdot3\cdot5\cdot7\cdot9,$ y $9\nmid P(10),7\nmid P(8)$

Los máximos divisores de $P(n)$ debe dividir $3\cdot5$

$P(n)\equiv(n+1)n^2(n+2)^2\pmod3$

Claramente, $3\mid n(n+1)(n+2)$

$P(n)\equiv(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)\pmod5$

Claramente, $5\mid(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$

Answer 2

Tenemos que $\gcd(P(1),P(2))=15$ por lo tanto, un número $N$ con la propiedad de que $N\mid P(n)$ para cada $n$ tiene que ser un divisor de $15$ . Podemos observar que $3\mid P(n)$ para cada $n$ ya que exactamente un número entre $n+3,n+1,n+5$ es múltiplo de tres. De manera similar, exactamente un número entre $n+5,n+1,n+7,n+3,n+9$ es múltiplo de $5$ Por lo tanto $\color{red}{15}$ es la respuesta.

Answer 3

Para demostrar que $5$ es un divisor de $P(n)$ para incluso $n$ considere los siguientes casos:

• $n\equiv\color\red0\pmod{10} \implies n+5\equiv\color\red0+5\equiv5\pmod{10} \implies 5|P(n)$
• $n\equiv\color\red2\pmod{10} \implies n+3\equiv\color\red2+3\equiv5\pmod{10} \implies 5|P(n)$
• $n\equiv\color\red4\pmod{10} \implies n+1\equiv\color\red4+1\equiv5\pmod{10} \implies 5|P(n)$
• $n\equiv\color\red6\pmod{10} \implies n+9\equiv\color\red6+9\equiv15\equiv5\pmod{10} \implies 5|P(n)$
• $n\equiv\color\red8\pmod{10} \implies n+7\equiv\color\red8+7\equiv15\equiv5\pmod{10} \implies 5|P(n)$

Dicho esto, no estoy seguro de cómo probar que $5$ es de hecho el mayor divisor de $P(n)$ ...

Answer 4

Obsérvese que si un primo $p$ divide todos los valores de $P(n)$ entonces $-1,-3,-5,-7,-9$ cubren todos los residuos módulo $p$ . Por lo tanto, $p\leq 5$ . Por lo tanto, para los primos sólo hay que comprobar $2,3,5$ (y lo hiciste) y $3,5$ son estos primos.

Ahora tenemos que ir a las potencias primarias; por inspección vemos que $9$ no divide $P(2)$ y que $25$ no divide $P(1)$ . Por tanto, las potencias primos máximas que dividen todos los valores son $3,5$ .

Por el Teorema Chino del Resto se puede concluir que el número máximo es $15$ como usted sugirió.

Esto significa que el mayor número que divide todos los valores es de la forma $3^k 5^l$ con $k,l\geq 1$ . Por inspección, se puede observar que $3^2$ y $5^2$ no satisfacen

Answer 5

$$P(10)=(11)(13)(15)(17)(19)=3.5.11.13.17.19$$ $$P(20)=(21)(23)(25)(27)(29)=3^4.5^2.7.23.29$$

podemos ver que $$gcd(P(10),P(20))=15$$

$$P(n)=(n+1)(n+3)(n+5)(n+7)(n+9) \equiv (n+1)n(n+2)(n+1)n \equiv 0 \mod 3$$

desde $n(n+1)(n+2) \equiv 0 \mod 3.$ es decir, el producto de 3 números consecutivos debe ser divisible por $3$ .

También,

$$P(n)=(n+1)(n+3)(n+5)(n+7)(n+9) \equiv (n+1)(n+3)n(n+2)(n+4)\equiv 0 \mod 5$$

ya que el producto de 5 números consecutivos es divisible por $5$ .

Por lo tanto $15$ es el mayor número que divide a $P(n)$ para todos incluso $n$ .