Sea $\mathcal{A}$ sea una categoría abeliana y $Kom(\mathcal{A})$ la categoría abeliana de complejos en $\mathcal{A}$ . En su libro Transformada de Fourier-Mukai en geometría algebraica Huybrechts afirma que $Kom(\mathcal{A})$ no es una categoría triangulada porque las opciones naturales de triángulos distinguidos no funcionan.
Estas opciones naturales son: secuencias exactas cortas; conos cartográficos.
La primera opción no funciona porque rompe, por ejemplo, el axioma TR2 (utilizando la notación de Huybrechts).
La segunda opción no funciona porque la construcción del cono cartográfico ni siquiera es un complejo en $Kom(\mathcal{A})$ (necesitamos pasar a la categoría de homotopía).
Me parece bien, pero ¿por qué implica que no podemos encontrar otro conjunto "no nutural" de triángulos distinguidos que funcione?
He intentado utilizar los axiomas de la categoría triangulada para llegar a una contradicción o a una restricción sobre la forma de estos triángulos distinguidos, pero he fracasado (debo decir que hasta ahora no he resuelto el axioma actaédrico). Así que estoy empezando a pensar que tal vez $Kom(\mathcal{A})$ se puede triangular de alguna manera loca, pero que esta estructura es inútil porque no tiene un significado geométrico..
Gracias por cualquier comentario al respecto.
