¿Existe una variedad plana cerrada cuyo grupo fundamental tenga abelianización trivial? La famosa Colector plano Hantzsche-Wendt tiene grupo fundamental con abelianización finita.
Respuesta
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Mike
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Andrzej Szczepanski me señaló la Proposición 2.3.13 del libro [Perfect Groups, Derek F. Holt y Wilhelm Plesken, 1989], que da respuesta a mi pregunta.
En concreto, con una terminología ligeramente diferente, la Proposición 2.3.13 muestra que si $G$ es el grupo fundamental de una variedad plana cerrada con grupo de holonomía $Q$ entonces su subgrupo conmutador $G^\prime = [G,G]$ es el grupo fundamental de una variedad plana cerrada con grupo de holonomía isomorfo a $Q^\prime=[Q,Q]$ y, además, si $Q$ es perfecto, entonces también lo es $G^\prime$ . Recordemos que un grupo es perfecto si no tiene cocientes abelianos no triviales, o equivalentemente, el grupo es igual a su subgrupo conmutador.
Se sabe que todo grupo finito aparece como grupo de holonomía de una variedad plana cerrada, véase [ Sobre el grupo de holonomía de los espacios localmente euclidianos , L. Auslander y M. Kuranishi, Anales de Matemáticas, 1957].
Por tanto, si partimos de cualquier grupo perfecto finito $Q$ y que $G$ sea el grupo fundamental de una variedad plana cerrada con holonomía $Q$ entonces $G^\prime$ es perfecto y también el grupo fundamental de una variedad plana cerrada con holonomía isomorfa a $Q$ .
Para ver por qué sustituimos $G$ por $G^\prime$ tenga en cuenta que $G^\prime$ y $G^\prime\times \mathbb Z$ tienen la misma holonomía, y este último grupo no es perfecto.
