Si no podemos cambiar el orden de los términos de una serie condicionalmente convergente, pero sí podemos cambiar el signo de los términos, ¿podemos obtener el número que queramos?

Question

Sea $\ \displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}} x_n\ $ ser un condicionalmente serie convergente y podemos elegir $\ a_j=-1\ $ o $\ a_j=1\ $ para cada $j\in\mathbb{N}.$

Sea $\ \beta\in\mathbb{R}.$

¿Podemos elegir el $\ a_j\ $ para que

$$\sum_{n\in\mathbb{N}} a_n x_n = \beta\quad ?$$

Si es así, podemos resolver esta pregunta Me encontré esta mañana dejando que $\ x_n = \left(-1\right)^n\frac{1}{p_n},\ $ donde $\ p_n\ $ es el $\ n-$ porque se trata de una serie condicionalmente convergente. Edición: esto no es lo que la pregunta estaba pidiendo.

Tenga en cuenta que mi pregunta es diferente a la Teorema de la serie de Riemann que dice que podemos mantener los términos, pero reorganizar el orden. En mi pregunta cambiar las condiciones .

Answer 1

Esquema de la prueba

$\sum x_n\ $ es condicionalmente convergente implica:

$$\sum_{n\in\mathbb{N}} x_n =\gamma\in\mathbb{R}\qquad (1)$$

$$\sum_{n\in\mathbb{N}} \vert x_n \vert = \infty \qquad (2)$$

$$\ \vert x_n \vert \to 0^+\qquad (3)$$

$(1)\implies\ $ existe $\ N\in\mathbb{N}\ $ tal que $\ \displaystyle\sum_{i=1}^{k} x_i\ $ está muy cerca de $\ \gamma\ $ para todos $\ k\geq N.$

A continuación, podemos utilizar $\ (2)\ $ y $\ (3)\ $ para llegar desde $\ \gamma\ $ a muy cerca de $\ \beta.$