No estoy seguro de entender muy bien por qué los sistemas con sistemas fractales muestran un comportamiento de ley de potencia. Mi interpretación "visceral" es que el índice de ley de potencia indica el factor de escala correcto para el sistema, de modo que el sistema original y el escalado parecen "similares", y es indicativo de la dimensión fractal del sistema. Sigo teniendo dificultades para ver esto físicamente; ¿existe una buena explicación física de por qué los sistemas fractales muestran un escalado de ley de potencia? Por ejemplo, en la famosa medición de la costa de Gran Bretaña, ¿por qué al disminuir la escala de longitud de mi "regla" aumenta la longitud como una ley de potencia, y no digamos exponencial, o alguna otra función loca? ¿Qué tiene de especial o universal el comportamiento de la ley de potencia?
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Esto se debe a que los sistemas fractales son, prácticamente por definición, autosimilares, lo que significa que no existe una escala de longitud preferida. Si algo más depende de la escala de longitud $L$ en función de $f(L)$ el argumento $L$ debe tener unidades -y ninguna unidad es mejor que otra-, por lo que es "dimensionable". Por otra parte, $f(L)$ es una cantidad que también debe tener unidades bien definidas, porque tampoco puede haber ningún valor preferente. Un valor preferente de $f(L)$ se traduciría en un valor preferente de $L$ etc.
Los poderes $A\cdot L^\kappa$ (con un $A$ ) son las únicas funciones con unidades bien definidas que no requieren que se defina ningún parámetro dimensional, es decir, una escala de longitud efectivamente preferida. Esto contrasta con cosas como $\exp(L/L_0)$ . El argumento de la exponencial debe ser adimensional, por lo que $L$ tendría que dividirse por $L_0$ una escala de longitud preferida, para que se permita en el exponente. Pero eso violaría la autosimilitud porque los patrones a escala de distancia $L_0$ estaría más cerca de las "reglas fundamentales del fractal" que todas las demás escalas de distancia, tanto más largas como más cortas.
Los exponentes críticos son importantes en los sistemas críticos y en las teorías de campos conformes de la física; en este sentido, son análogos a los fractales.
También se pueden definir los fractales independientemente de la autosimilitud, a través de su dimensión fractal. Entonces tu pregunta queda contestada porque se deduce casi de la definición de la dimensión fractal donde el número de bolas $N\sim \epsilon^{-D}$ por lo que la ley de potencia se incorpora a la definición de la dimensión fractal y se propaga desde $N$ a cualquier otra cantidad "derivada" que consideres.
La ley de potencia es una forma genérica que contiene la ley del cuadrado inverso de la electricidad y la gravedad, y la ley de Hook (incluido el resorte espacial de la QM). Se puede demostrar que el cuadrado inverso va a la ley de Hook cuando el desplazamiento es pequeño y la densidad es grande, es decir, el confinamiento.
