Demostrando que $x=0$ es un punto mínimo utilizando la expansión de Taylor

Question

Encuentra todos los trillizos $(\alpha ,\beta, \gamma)\in\mathbb{R}^3$ tal que la función $$f(x)=e^x +\alpha \arctan(x) + \beta \arctan^2(x) +\gamma \arctan^3(x)$$ tiene un mínimo en $x=0$ .

Mi solución . Tomando la derivada obtengo $$f'(x)=e^x +\frac{\alpha}{1+x^2} +\frac{2 \beta \arctan(x)}{1+x^2} +\frac{3 \gamma \arctan2(x)}{1+x^2}$$

Así que el límite $\lim_{x\to 0} f'(x)=0$ . Expandiendo los términos encuentro que cada término tiene un $x$ más allá, excepto $1+ \alpha$ por lo que los trillizos son infinitos $(-1, \beta, \gamma)$ .

¿Es posible?

Answer 1

Consideremos la expansión de Taylor de $f$ en $x=0$ hasta "cierto" orden y recordar el prueba de la derivada de orden superior .

Hasta el primer pedido, $$f(x)=1+x+\alpha x+O(x^2)=1+(1+\alpha) x+O(x^2)$$ lo que implica que si hay un mínimo en $0$ entonces $1+\alpha=0$ (de lo contrario $f$ es estrictamente monótona en una vecindad de $0$ ), por lo tanto $\alpha=-1$ .

Ahora, con $\alpha=-1$ hasta el segundo orden, $$f(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+(-1)(x)+\beta(x^2)+O(x^3)=1+\left(\frac{1}{2}+\beta\right) x^2+O(x^3)$$ y si $\frac{1}{2}+\beta> 0$ entonces $0$ es un punto mínimo. Es un punto máximo cuando $\frac{1}{2}+\beta<0$ .

Para comprobar el caso cuando $\frac{1}{2}+\beta=0$ es decir $\beta=-\frac{1}{2}$ , debe considerar la expansión hasta el tercer orden: $$f(x)=1+\left(\frac{1}{2}+\gamma\right) x^3+O(x^4).$$ Si hay un mínimo en $0$ entonces $\frac{1}{2}+\gamma=0$ es decir $\gamma=-\frac{1}{2}$ .

Por último, con $\alpha=-1$ , $\beta=\gamma=-\frac{1}{2}$ para ver si $0$ es un punto mínimo, compruebe la expansión hasta el cuarto orden.

¿Puedes seguir desde aquí?

Answer 2

En $$f'(x)=e^x +\frac{\alpha}{1+x^2} +\frac{2 \beta \arctan(x)}{1+x^2} +\frac{3 \gamma \arctan2(x)}{1+x^2}$$ encuentras $f'(0)=1+\alpha $ .

No es necesario $ \lim_{x\to 0} f'(x)=0$

La otra cuestión es que: ¿cómo se sabe que x=0 es un minimizador sólo por $f'(0)=0?$ .

Es necesario verificar que se trata efectivamente de un minimizador mediante la prueba de la segunda derivada.