Congruencia de 3 triángulos equiláteros

Question

He estado teniendo algunos problemas con esta pregunta de mi folleto de geometría, cualquier ayuda sería apreciada

Sea ABC un triángulo acutángulo. A la parte exterior del triángulo ABC adjuntar triángulos equiláteros ABD, BCE y CAF, demostrar que los segmentos de línea AE, BF y CD todos tienen la misma longitud

Gracias de antemano.

Edito: He intentado aprender el Teorema de Menelau para intentar esta pregunta pero no he visto ninguna relevancia, he aprendido que todos se intersecan en el mismo punto pero soy incapaz de describirlo en términos matemáticos.

Answer 1

Demostraremos que $BF$ y $CD$ tienen la misma longitud. Por simetría, esto implicará que $AE$ tiene la misma longitud que los otros dos.

Tenga en cuenta que $B$ es una rotación de $D$ centrado en $A$ por $60^\circ$ en el sentido de las agujas del reloj (suponiendo WLOG los vértices de $\Delta ABC$ están marcados en el sentido contrario a las agujas del reloj) y $F$ es una rotación de $C$ centrado en $A$ por $60^\circ$ en el sentido de las agujas del reloj.

Por lo tanto, $BF$ es una rotación de $CD$ centrado en $A$ por $60^\circ$ en el sentido de las agujas del reloj. Como las rotaciones preservan la longitud, tenemos que $BF=CD$ .

Answer 2

Otro enfoque:

$\triangle CBF=\triangle CAE$ para SAS(dos lados y ángulo entre son iguales).Entonces $AE=BF$ . Por la misma razón $\triangle BCD=\triangle BAE$ así que $AE=CD$ Por lo tanto $AE=BF=CD$ .