Existencia de función medible para una composición especial

Question

Sea $Y$ ser un $\left( \Omega\mathcal{,F} \right) \rightarrow \left( S,\mathcal{E} \right)$ variable aleatoria, y $X$ ser un $\left( \Omega,\sigma\left( Y \right) \right) \rightarrow \left( \mathbb{R,}\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right)$ variable aleatoria, donde $\sigma\left( Y \right)$ es el $\sigma$ -álgebra generada por $Y$ ¿cómo demostramos que existe un $\left( S,\mathcal{E} \right) \rightarrow \left( \mathbb{R,}\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right)$ función medible $f$ tal que $f \circ Y = X$ ?

Answer 1

Consideremos en primer lugar el caso en que $X=I_A$ para algunos $A \in \sigma (Y)$ . Cualquier conjunto en $\sigma (Y)$ es del tipo $Y^{-1}(B)$ para algunos $B \in \mathcal E$ . Por lo tanto $X=I_{Y^{-1}(B)}=I_B\circ Y$ . Esto demuestra el resultado en este caso especial ya que $f=I_B$ es medible. Tomemos ahora combinaciones lineales para demostrar que lo mismo vale para funciones simples $X$ . Para una función medible no negativa $X$ elegir funciones sencillas $X_n$ convergiendo hacia $X$ puntualmente . Si $X_n=f_n\circ Y$ para todos $n$ entonces $X=f\circ Y$ donde $f=\lim \sup f_n$ (o $f=\lim \inf f_n$ ). Para el caso general escriba $X$ como $X^{+}-X^{-1}$ .