Desarrollar cinco términos en la serie de Taylor

Question

Desarrollar cinco términos de la serie de Taylor en torno a $x_0=\pi$ para la función $f(x)=\cos\left({x\over3}\right)$

$f^0(x)=\cos\left({x\over3}\right) \Big|_\pi $

$f^{'}(x)=-\sin\left({x\over3}\right) {1\over3} \Big|_\pi$

$f^{''}(x)=-\cos\left({x\over3}\right) {1\over9} \Big|_\pi$

$f^{'''}(x)=\sin\left({x\over3}\right) {1\over{27}} \Big|_\pi$

$f^{iv}(x)=\cos\left({x\over3}\right) {1\over{81}} \Big|_\pi$

Así que (...)

$S={\cos\left({\pi\over3}\right)}{-\sin\left({\pi\over3}\right) {1\over3}}{-\cos\left({\pi\over3}\right) {1\over9}}+{\sin\left({\pi\over3}\right) {1\over{27}}}+{\cos\left({\pi\over3}\right) {1\over{81}}}$

* EDITAR: *

Olvidé la división factorial y la multiplicación por $x_0$

$S= {\cos\left({\pi\over3}\right)}- {{1\over3}\sin\left({\pi\over3}\right)(x-\pi)}- \frac{{1\over9}\cos\left({\pi\over3}\right) }{2}(x-\pi)^2+ \frac{{1\over{27}}\sin\left({\pi\over3}\right) }{6}(x-\pi)^3+ \frac{{1\over{81}}\cos\left({\pi\over3}\right) }{24}(x-\pi)^4$

Mi pregunta es: ¿esto es correcto?

Answer 1

No del todo. Te olvidaste de los términos factoriales en el denominador, para empezar. Olvidaste las potencias de $x-\pi,$ también. Además, deberías ser capaz de evaluar explícitamente esas expresiones trigonométricas.

Editar : Se ve mejor, pero aún puedes evaluar esas expresiones trigonométricas y simplificar esas fracciones. Además, acabo de darme cuenta de que calculaste incorrectamente tu cuarta derivada.