Generadores del grupo entero aditivo

Question

Mi pregunta es sencilla, tal vez sea más una cuestión de notación, pero no estoy seguro.

En Dummit + Foote's Álgebra abstracta al introducir los generadores (página 26 sección 1.2 Grupos diedros), afirman que:

Por ejemplo, el número entero 1 es un generador del grupo aditivo $\mathbb{Z}$ de números enteros, ya que cada número entero es una suma de un número finito de +1 y -1, por lo que $\mathbb{Z}=\langle 1\rangle$ .

Mi pregunta es que como cada elemento de ( $\mathbb{Z},+$ ) puede escribirse con +1 y -1, ¿no debería ser el generador $\langle 1,-1\rangle$ ? ¿O se trata de notación para no incluir los elementos inversos?

Gracias de antemano.

Answer 1

$\langle 1 \rangle$ ya es un generador de $\mathbb{Z}$ porque un generador también "genera" elementos inversos. Esto se debe a la definición de generador.

De Wikipedia:

En álgebra abstracta, un conjunto generador de un grupo es un subconjunto tal que cada elemento del grupo puede expresarse como la combinación (bajo la operación de grupo) de finitamente muchos elementos del subconjunto y su inversos .

Así que $-3\in \langle 1 \rangle$ porque tenemos $-3= (-1)+(-1)+(-1)$ .

Lo mismo ocurre con $\langle -1\rangle$ .

Tenga en cuenta también que técnicamente $\langle 1, -1\rangle$ también es un generador válido del grupo, pero ocurre que también hay un generador "más pequeño".