Sea $\{P_n\}$ convergen uniformemente a $f$ en $T$ . demostrar que existe analítica y continua $F$ en $\bar{D}$ tal que $F \equiv f$

Question

Sea $\{P_n\}$ sea una serie de polinomios que converge uniformemente en el círculo unitario $ T = \{|z| = 1\}$ a $f$ .

demostrar que existe $F$ tal que $F$ es analítica en el disco unitario $D$ y continua en el disco unitario cerrado $\bar{D}$ tal que $F \equiv f$ en $T$ .

Creo que f debe ser analítica en $T$ por lo que el radio de convergencia es al menos 1. por lo que f realmente califica para ser F. pero no estoy seguro de estar en lo correcto?

Answer 1

La restricción de $P_n$ a $T$ converge uniformemente, por lo que $(P_n|_T)$ es uniformemente Cauchy en $T$ . Por el principio del módulo máximo, $(P_n)$ también es uniformemente Cauchy en $\bar D$ y por tanto converge uniformemente a alguna función (continua) $F$ en $\bar D$ .

Por otra parte, el teorema de Morera demuestra que un límite uniforme de funciones holomorfas es holomorfo, por lo que de hecho $F$ es holomorfa en $D$ .