Centro de gravedad del octavo de una esfera

Question

¿Podría pedir ayuda para saber en qué me equivoco?

Question

Halla la posición del centro de gravedad de aquella parte de una delgada concha esférica x^2 + y^2 + z^2 = a^2 que existe en el primer octante.

Mi respuesta

Trabajar en coordenadas esféricas:

En $2_{nd}$ momento del área de un elemento de área pequeña $dA$ sobre el eje z es:

$dA=(a\sin\theta)^2\,\delta{A}$

(Esto se debe a que en coordenadas esféricas $(r,\theta,\phi)$ la distancia perpendicular de un elemento de área del armazón al eje z es $a\sin\theta$ y el producto del área por esta distancia al cuadrado es el 2º momento del área)

Ahora, en este problema, en coordenadas esféricas el área elemental viene dada por:

$\delta{A}=a^2\,\sin\theta\,\delta\theta\,\delta\phi$

(esto viene del resultado general de que en coordenadas esféricas $(r,\theta,\phi)$ el área elemental viene dada por $\delta{A}=r^2\,\sin\theta\,\delta\theta\,\delta\phi\,$ pero en este problema r = a es constante)

Así que tenemos que el elemental $2_{nd}$ momento del área viene dado por:

$a^2\sin\theta\,(a\sin\theta)^2\,\delta\theta\,\delta\phi$ =

$a^4sin^{3}\theta\,\delta\theta\,\delta\phi\,\therefore$

Total $2_{nd}$ momento del área = $a^4\int_{\phi=0}^{\pi/2}\,\int_{\theta=0}^{\pi/2}sin^3\theta\,d\theta\,d\phi\,=$

$a^4\int_{\theta=0}^{\pi/2}\frac{2}{3}\,d\phi\,=$

$a^4\left[\frac{2}{3}\phi\right]_0^{\pi/2}\,=$

$a^4(\frac{2}{3}\frac{\pi}{2})\,=\,\frac{a^4\pi}{3}$

Ahora, podemos equiparar esto con el radio de giro (k) del octavo de esfera y su área total (A) de la siguiente manera:

$\frac{a^4\pi}{3}=Ak^2=\frac{4\pi a^2}{8}k^2$

(Dividiendo por ocho ya que sólo tenemos un octavo de esfera)

Y así, esto nos lleva a:

$k=\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}}$

Y como el radio de giro k es la distancia a la que una masa puntual de la misma masa que el octavo de esfera producirá un momento equivalente al de todo el octavo de esfera tenemos que la componente x del centro de masa de todo el objeto es $\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}}$ y así por simetría la respuesta a todo el problema es $(\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}},\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}},\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}})$

Sin embargo, creo que la respuesta debería ser:

$(a/2,a/2,a/2)$

¿En qué me he equivocado?

Answer 1

Estoy utilizando coordenadas esféricas con $\theta=0$ en el ecuador. Una zona de latitud de su triángulo esférico $S$ de ancho $d\theta$ y en la latitud geográfica $\theta$ es una cuarta parte de una "pantalla infinitesimal". Es $z$ -nivel es $z=a\>\sin\theta$ y su área viene dada por $$dA={\pi\over 2}\>a\cos\theta\cdot a\>d\theta\ .$$ Pesando en este trozo infinitesimal de superficie con su altura vertical $z$ resulta en $$dM_z=z\cdot dA={\pi\over2}a^3\>\sin\theta\>\cos\theta\>d\theta\ .$$ De ello se deduce que el $z$ -coordenada del centroide (la "media $z$ -valor" de los elementos del área) se calcula en $$\zeta={M_z(S)\over A(S)}={1\over{\pi\over2} a^2}\>{\pi\over2} a^3\int_0^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta\>d\theta={a\over2}\ .$$ Debido a la simetría, las coordenadas del centroide son entonces $$(\xi,\eta,\zeta)=\left({a\over2},{a\over2},{a\over2}\right)\ .$$ En prueba abstracta sin sentido de esto podría ser como sigue: Basta con calcular $\zeta$ . En $\zeta$ de su $S$ es el mismo que el $\zeta$ del hemisferio superior completo. Es bien sabido que el área esférica entre dos planos horizontales $z={\rm const.}$ es igual al área correspondiente de un cilindro circunscrito. Pero para el cilindro es evidente que $\zeta={a\over2}$ .

Answer 2

Edit: No importa esta respuesta. Pensé erróneamente que estabas hablando de un sólido ocho de una esfera.

¿Por qué utilizar coordenadas esféricas?

Sea $A$ sea la esfera de un ocho situada en el octante positivo. El volumen total de $A$ es sólo $\frac{a^3\pi}{6}$ . Así que para calcular el $z$ componente del centro de masa, y por simetría las otras, necesitamos calcular $$\frac{6}{a^3\pi}\int_AzdV$$

Pero para un $z$ el corte horizontal a través de A a la altura $z$ no es más que un cuarto de círculo de radio $\sqrt{a^2-z^2}$ que tiene una zona muy conveniente de simplemente $\frac{\pi}{4}(a^2-z^2)$ . Así que podemos calcular de la siguiente manera $$\begin{align} \frac{6}{a^3\pi}\int_AzdV &= \frac{6}{a^3\pi} \int_0^a z\cdot \frac{\pi}{4}(a^2-z^2)dz\\ &=\frac{3}{2a^3}\int_0^a a^2z-z^3dz \\ &=\frac{3}{2a^3}\left[\frac{a^2z^2}{2}-\frac{z^4}{4}\right]_0^a \\ &=\frac{3}{2a^3}(\frac{a^4}{2}-\frac{a^4}{4}) \\ &=\frac{3}{2a^3}\cdot\frac{a^4}{4} = \frac{3}{8}a \end{align}$$

Así que el centro de masa está en $(\frac{3}{8}a, \frac{3}{8}a, \frac{3}{8}a)$ .