¿Por qué las curvas fractales no son diferenciables en ninguna parte?

Question

Soy un estudiante de secundaria que se topó con los fractales al hacer un proyecto de matemáticas. En mi investigación sobre los fractales, he descubierto que no son diferenciables en ninguna parte. ¿Puede alguien explicar esto en términos sencillos? Especialmente si el copo de nieve de Koch fue utilizado como un ejemplo para explicar. Ya que este es el fractal con el que estoy más familiarizado.

Según he entendido, como los fractales tienen infinitas iteraciones, la distancia entre dos puntos nunca puede disminuir, sólo aumentar. Sin embargo, en la derivación, la distancia entre esos dos puntos, h, va hacia 0. Por tanto, esto no es posible en las curvas fractales, aunque sean continuas.

Siéntase libre de reírse de mí si estoy completamente equivocado.

Answer 1

Las funciones diferenciables son localmente "lineales". Al acercarse, la función y la tangente serán cada vez más parecidas. La autosimilitud de los fractales proporciona un detalle inagotable a todas las escalas.

Answer 2

Geométricamente, la diferenciación es encontrar la pendiente de la curva. Por ejemplo, la pendiente de la función de valor absoluto $|x|$ a 0 de la izquierda es $-1$ y por la derecha está $1$ por lo que no es diferenciable en $0$ . ver la imagen

la misma idea aplicada al copo de nieve de Koch en cada punto.

Nota: imágenes de Wikipedia