un mapa de grado par debe identificar un par de puntos antípodas

Question

Estoy atascado en este problema de Armstrong Topología básica Capítulo 9, P206.

Demostrar que si $f:S^n\to S^n$ tiene grado par, debe identificar un par de puntos antípodas de $S^n$ .

Conozco algunas conclusiones similares como "si $f$ preserva los puntos antípodas, entonces $f$ tiene grado impar", "si f tiene grado impar, debe llevar algún par de puntos antipodales a un par de puntos antipodales". Probé una habilidad similar utilizada en la resolución del segundo problema: considere una homotopía $F(x,t)=\frac{tf(x)+(1-t)f(-x)}{||tf(x)+(1-t)f(-x)||}$ y el grado de $F(x,1/2)$ . Dejo $F(x,t)=\frac{tf(x)-(1-t)f(-x)}{||tf(x)-(1-t)f(-x)||}$ en este problema para buscar la contradicción. Pero no puedo conseguir nada sobre el grado de estos $F(x,t)$ para ciertos $t$ s. Y puesto que $deg(-f(-x))=deg(f)$ es válida para cualquier $f$ Hasta ahora no he encontrado ninguna contradicción.

¿Es un planteamiento equivocado? Agradecería cualquier pequeño consejo.

Answer 1

Su enfoque es bueno. Pista: utiliza una de las homotopías que has mencionado (la que es posible gracias a la suposición $f(x) \not = f(-x)$ ) y el hecho de que un mapa impar tiene grado impar.

Para $F(x,t)=\frac{tf(x)-(1-t)f(-x)}{||tf(x)-(1-t)f(-x)||},$ ajuste $t = 1/2$ te da un mapa cuyo grado tiene que ser igual a $\deg (f)$ y sin embargo tiene que ser impar.