Producto interior de los cuaterniones: ¿está correctamente definido?

Question

Estoy estudiando el libro de J. Lee "Intro to Smooth Manifolds", y éste es el problema 7-22c. Se pide al lector que demuestre que $\langle p,q\rangle=\frac{1}{2}(p^*q+q^*p)$ define un producto interior sobre $\mathbb{H}$ . Es trivial verificar que esto es lineal en el primer argumento, y satisface la simetría conjugada. Sin embargo, creo que he entendido algo mal. Porque $\mathbb{H}$ es un álgebra de 4 dimensiones sobre $\mathbb{R}$ como se indica en el texto, por lo que pensé que el producto interior tendría que tomar valores en $\mathbb{R}$ .

Al verificar la no-degeneración, me di cuenta de que, si $p=(a,b)$ con $a,b\in\mathbb{C}$ (esta es la forma en que se definen los cuaterniones en el texto), obtenemos $\langle p,p\rangle=(|a|^2+|b|^2,0)$ .
Dado que técnicamente no toma sus valores en $\mathbb{R}$ ¿es realmente un producto interior? Es claramente cierto que $\langle p,p\rangle=0$ si $p=0$ y $|a|^2+|b|^2\geq 0$ por lo que podríamos considerar simplemente la primera entrada de este valor resultante de $\langle p,p\rangle$ ya que el segundo es siempre cero, pero esto no me parece del todo correcto. ¿Qué me falta aquí?

Answer 1

Hay una copia de $\mathbb{R}$ sentado dentro $\mathbb{H}$ consistente (cuando se toma la $\mathbb{R}$ -) de los múltiplos escalares de $1$ .

Ahora esto roza lo filosófico, pero se puede pensar en esta copia de los números reales como los números reales "reales" y el problema desaparece.

Es como cuando crees que los números naturales, los enteros, los racionales, los reales y los complejos "existen" en algún sentido del mundo real, tiene mucho sentido decir que "algunos números racionales también son enteros" o "todos los reales son complejos, pero no al revés", etc.

Por analogía: se pueden definir formalmente los números racionales como clases de equivalencia de pares de enteros, donde la relación de equivalencia es $(a, b) \sim (c, d)$ si $ad = bc$ . Esto no es muy perspicaz, pero funciona. Si tú haces eso y yo pienso en los números racionales como en la escuela primaria, entonces no tendremos ningún problema en comunicarnos y hacer cálculos en los racionales juntos.

Pero supongamos ahora que, sorprendentemente, el resultado de nuestro cálculo es 2 y yo digo "oye, qué sorprendente: no es un número racional cualquiera, sino un número entero": ¡¿De qué demonios estás hablando?! Un número entero es sólo un elemento de $\mathbb{Z}$ y $2$ es un subconjunto infinito del conjunto de pares ¡de tales elementos! Son completamente diferentes".

En cierto sentido tendrías razón, pero aun así creo que no me equivocaría. La situación es la misma aquí donde el libro piensa en los múltiplos reales de 1 dentro de $\mathbb{H}$ (así que formalmente los elementos de la forma $(a, 0)$ con $a$ reales) como los números reales "reales" que todos conocemos y amamos.