Si $X$ tiene una base abierta-cerrada $\mathcal{B}$ y si $|X|>1$ entonces $X$ no está conectada localmente

Question

Declaración

Sea $X$ un espacio topológico que tiene una base abierta-cerrada $\mathcal{B}$ . Así que si $X$ es tal que $|X|>1$ entonces no está conectado localmente.

Prueba . Si $X$ estaba conectada localmente, entonces para cualquier $x\in X$ existe una vecindad conexa $V$ de $x$ por lo que debe existir $B\in\mathcal{B}$ tal que $x\in B\subseteq V$ y así, puesto que $B$ está abierto y cerrado, $B$ y $V\setminus B$ son dos conjuntos abiertos disjuntos de $V$ tal que $B\cup V\setminus B=V$ Esto significa que $V$ no está conectado.

Es evidente que la prueba es correcta si $B\subset V$ : de hecho sólo en este caso se sigue que $V\setminus B\neq\varnothing$ . De todas formas veo que cualquier espacio discreto $X$ es un espacio tal que tiene una base abierta-cerrada y es localmente conexo: así que parece que la afirmación es falsa; sin embargo mi texto dice lo contrario así que pregunto si añadimos otras hipótesis entonces la afirmación es verdadera. Entonces, ¿cómo demostrar la afirmación? ¿Podría alguien ayudarme, por favor?

Answer 1

Para cada $x\in X$ deje $\mathscr{B}(x)=\{B\in\mathscr{B}:x\in B\}$ basta con añadir el requisito de que haya un punto $x_0\in X$ tal que $\bigcap\mathscr{B}(x)$ no está abierto. (Esto es automático si, por ejemplo, $X$ es $T_1$ pero no discreto).

Sea $H=\bigcap\mathscr{B}(x_0)$ y que $V$ sea un nbhd abierto de $x_0$ Entonces $H\subsetneqq V$ así que arregla $x\in V\setminus H$ . Existen $B_0,B_1\in\mathscr{B}(x_0)$ tal que $B_0\subseteq V$ y $x\notin B_1$ . Sea $U=B_0\cap B_1$ Entonces $U$ es cerrado, y $x_0\in U\subseteq V\setminus\{x\}$ Así que $U$ y $V\setminus U$ son subconjuntos abiertos no vacíos y disjuntos de $V$ cuya unión es $V$ .