Integral impropia de funciones acotadas sobre intervalo abierto acotado

Question

Supongamos que $(a,b)$ es un intervalo abierto y acotado de $\mathbb{R}$ . Además $$f:(a,b)\to \mathbb{R}$$ sea una función acotada. Establecer $\tilde{f}:[a,b]\to\mathbb{R}$ como la función $$\tilde{f}(x)=\begin{cases} f(x)\qquad x \in (a,b)\\\alpha \qquad x=a\\\beta \qquad x=b\end{cases}.$$ ¿Es cierto que si $\tilde{f}$ es integrable de Riemann sobre $[a,b]$ entonces la integral impropia de $f$ en $(a,b)$ convergen y $$\int_{a}^{b}f=\int_{a}^{b}\tilde{f}\qquad ?$$

Obsérvese que la integral impropia de $f$ en $(a,b)$ siempre que $f$ es integrable en riemann en cualquier subintervalo compacto $[c,d]\subset (a,b)$ se define como $$\int_{a}^{b}f=\lim_{m\to a^+}\int_{m}^{c}f+\lim_{M\to b^-}\int_{c}^{M}f$$ donde $c\in (a,b)$ es arbitraria.

Intento personal Desde $\tilde{f}$ es integrable en riemann sobre $[a,b]$ entonces es riemann integrable sobre cualquier $[c,d]\subset (a,b)$ . Pero $\tilde{f}=f$ en dichos intervalos compactos. Así que $f$ es integrable en riemann sobre cualquier $[c,d]\subset (a,b)$ . Entonces, para cualquier $c\in (a,b)$ uno tiene $$\int_{a}^{b}f(t)dt=\lim_{m\to a^+}\int_{m}^{c}f(t)dt+\lim_{M\to b^-}\int_{c}^{M}f(t)dt=\lim_{m\to a^+}\int_{m}^{c}\tilde{f}(t)dt+\lim_{M\to b^-}\int_{c}^{M}\tilde{f}(t)dt=\int_{a}^{c}\tilde{f}+\int_{c}^{b}\tilde{f}=\int_{a}^{b}\tilde{f}.$$

Answer 1

Tu prueba es correcta excepto por el hecho de que necesitas justificar el último paso (el uso del penúltimo ' $=$ ). Se basa en el Teorema Fundamental del Cálculo una parte del cual dice que si una función $f:[a, b] \to\mathbb {R} $ es integrable de Riemann en $[a, b] $ y si $F(x) =\int_{a} ^{x} f(t) \, dt$ entonces la función $F$ es continua en $[a, b] $ .

Esto demuestra también que la noción de integral impropia para funciones acotadas sobre intervalos acotados es superflua (pero quizá atractiva para muchos, como sugieren algunas preguntas de esta página web). Lo habitual (o digamos correcto ) La integral de Riemann es lo suficientemente potente como para tratar funciones acotadas en intervalos acotados y esto es una condición previa para la definición de integral de Riemann. Por ejemplo, la integral $\int_{0}^{1}\sin(1/x)\,dx$ no es impropio sino $\int_{0}^{1}(1-x^2)^{-1/2}\,dx$ es incorrecto (y importante al mismo tiempo ).