Demostrar la relación de probabilidad condicional de variables aleatorias

Question

Sean tres variables aleatorias $X$ , $Y$ y $Z$ .

¿Cómo puedo demostrar lo siguiente?

$P(X|Y) = \sum\limits_{z} P(X,z|Y)$

Answer 1

Una formulación correcta sería que $\mathrm P(X=x\mid Y=y)=\sum\limits_z\mathrm P(X=x,Z=z\mid Y=y)$ para cada $y$ tal que $\mathrm P(Y=y)\ne0$ .

Esta fórmula es un ejemplo del hecho de que $\mathrm P(A\mid C)=\sum\limits_k\mathrm P(A\cap B_k\mid C)$ para cada evento $A$ , $(B_k)_k$ y $C$ tal que $\mathrm P(C)\ne0$ y tal que $(B_k)_k$ es una partición del espacio de probabilidad subyacente. A su vez, este hecho se deduce de la observación de que los sucesos $A\cap B_k\cap C$ son disjuntos y que su unión sobre $k$ es $A\cap C$ .