Expectativas en torno a las matrices de permutación

Question

Sea $L$ sea $n\times n$ matriz bidiagonal tal que su diagonal es toda $1$ y su subdiagonal es todo $-1$ (y cero en el resto). Sea $D$ cualquier matriz diagonal y $x,y$ ser cualquier $n$ -vectores columna dimensionales.

Cuál es la expectativa:

$\mathbb E[x^TP^TL PDP^T L^TPy] $

donde la expectativa se toma sobre $P$ que recorre todo $n!$ matrices de permutación de $n\times n$ ?

Answer 1

Las permutaciones quizás se entiendan mejor como permutaciones $L$ es decir, queremos $\mathbb E[x^TL'DL'^Ty]$ con $L'=P^TLP$ . Podemos escribir $L=I-A$ donde $I$ es la identidad y $A$ tiene $1$ s en la subdiagonal y $0$ en otro sitio. La identidad es invariante bajo la permutación, y donde $A$ tiene $1$ s en elementos no diagonales a lo largo de una cadena de índices desde $1$ a $n$ , $A'=P^TAP$ los tiene a lo largo de cualquiera de los $n!$ posibles cadenas. Así,

$$ \begin{align} \mathbb E[x^TP^TIPDP^TI^TPy]&=x^TDy\;, \\ \\ \mathbb E[x^TP^TIPDP^TA^TPy] &=\mathbb E[x^TDA'^Ty] \\ &=\frac1{n!}\sum_{\sigma\in S_n}\sum_{i=1}^nx_iD_{ii}y_{\sigma^{-1}(\sigma(i)+1)} \\ &=\sum_{i=1}^nx_iD_{ii}\frac1{n-1}\sum_{j\ne i}y_j \\ &=\frac n{n-1}x^TD\langle y\rangle-\frac1{n-1}x^TDy\;, \\ \\ \mathbb E[x^TP^TAPDP^TI^TPy] &= \frac n{n-1}\langle x\rangle^TDy-\frac1{n-1}x^TDy\;, \\ \\ \mathbb E[x^TP^TAPDP^TA^TPy] &= \mathbb E[x^TA'DA'^Ty] \\ &= \frac1{n!}\sum_{\sigma\in S_n}\sum_{i=1}^nx_{\sigma^{-1}(\sigma(i)+1)}D_{ii}y_{\sigma^{-1}(\sigma(i)+1)} \\ &=\sum_{i=1}^n\frac1{n-1}\sum_{j\ne i}x_jD_{ii}y_j \\ &=\sum_{j=1}^n\frac1{n-1}\sum_{i\ne j}x_jD_{ii}y_j \\ &=\frac n{n-1}x^T\langle D\rangle y-\frac1{n-1}x^TDy\;, \end{align} $$

así que

$$ \mathbb E[x^TP^TLPDP^TL^TPy]=\frac n{n-1}\left(x^TDy-\langle x\rangle^TDy-x^TD\langle y\rangle+x^T\langle D\rangle y\right)\;, $$

donde $\langle x\rangle$ y $\langle y\rangle$ son vectores constantes cuyas entradas son la media de las entradas de $x$ y $y$ respectivamente, y $\langle D\rangle$ es un múltiplo de la identidad cuyas entradas diagonales son la media de las entradas diagonales de $D$ .