Si $f_n \rightarrow f$ en $L^1_{loc}(\Omega)$ entonces es cierto que $f_n \rightarrow f$ a.e. en $\Omega$ ? ¿O sólo es cierto para una subsecuencia? ¿Y por qué? $\Omega$ es un conjunto abierto en $\mathbb{R}^m$ )
He visto un resultado similar para sólo $L^1$ sin una prueba. No tengo ni idea cuando lo sustituimos por $L^1_{loc}.$ ¿Puede alguien ayudarme a entenderlo?
Sólo es cierto a lo largo de una subsecuencia.
Tomemos un agotamiento compacto contable $K_i, i\in\mathbb N$ de $\Omega$ con $K_i\subset K_{i+1}$ .
En $K_1$ existe una subsecuencia de $f_n$ que converge a.e. en $K_1$ Véase, por ejemplo $L^1$ la convergencia da una subsecuencia convergente puntualmente
Ahora puede aplicar el mismo argumento a $K_2$ y la subsecuencia resultante de $K_1$ , por lo que se tiene una subsecuencia de una subsecuencia que converge puntualmente a.e. en $K_2$ .
Puedes repetir este argumento, y al final puedes elegir una secuencia diagonal de estas subsecuencias. Éstas convergen puntualmente a.e. en todos los $K_i$ y, por tanto, a.e. en $\Omega$ .
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