Punto de equilibrio del sistema autónomo ODE

Question

Cuáles son los puntos de equilibrio del sistema $$x'=yz-x^2 \quad , \quad y'=zx-y^2 \quad , \quad z'=xy-x^2$$ También me pregunto cómo podemos determinar las trayectorias de este sistema ¿podemos esbozarlas o imaginarlas de algún modo?

Obviamente, el origen es uno de los puntos de equilibrio. ¿Cómo podemos encontrar otros? ¿Existe alguna estrategia específica para encontrar puntos de equilibrio?

Answer 1

¿Cómo podemos encontrar otros puntos de equilibrio? Establecer $$x'=y'=z'=0$$ y luego resolver para $x,y,z$ . Esta es la estrategia típica. En este caso, comience con $z'=x(y-z)=0$ es decir $x=0$ o $y=z$ e introdúzcalo en las otras dos ecuaciones, y así sucesivamente.

Aquí se obtienen los puntos de equilibrio $(0,0,c)$ con $c \in \mathbb{R}$ y $(a,a,a)$ con $a \in \mathbb{R}$ . Así que tienes toda una gama de equilibrios; todo el $z$ -El eje está formado por equilibrios.

Cómo trazar las trayectorias: Puedes calcular la solución (normalmente bastante difícil) o investigar la estabilidad de los equilibrios. Puedes mirar las funciones de Lyapunov para determinar la estabilidad o mirar el sistema linealizado alrededor de un equilibrio $(x_0,y_0,z_0)$ es decir $\xi'=J(x_0,y_0,z_0)\xi$ donde

$$J(x,y,z)=\begin{pmatrix} -2x & z & y \\ z & -2y & x \\ y-2x &x &0 \end{pmatrix}.$$

Luego introduce tus equilibrios y busca los valores propios. Llamamos equilibrio $(x_0,y_0,z_0)$ estable si $\text{Re}(\lambda)<0$ para todos los valores propios $\lambda$ de $J(x_0,y_0,z_0)$ . Inestable si $\text{Re}(\lambda)>0$ para un valor propio. Y si $\text{Re}(\lambda)=0$ para un valor propio entonces no se puede decir nada sobre la estabilidad con este método - también se dice que este es un equilibrio no hiperbólico y este método (con el teorema de Grobman-Hartman) falla.

Ahora, para el valor propio $\lambda_i$ se puede calcular el vector propio correspondiente $v_i$ . Si $\text{Re}\lambda_i<0$ entonces $v_i$ pertenece al espacio eigénico estable y si $\text{Re}\lambda_i>0$ entonces $v_i$ pertenece al espacio eigénico inestable.

Le mostraré un ejemplo. Usted tiene el equilibrio $(0,0)$ y $\lambda_1=-1, \lambda_2=1, v_1=(1,0), v_2=(0,1)$ entonces tu retrato de fase tiene este aspecto:

Se puede ver que las trayectorias se mueven de acuerdo con la estable $\langle \binom{1}{0} \rangle$ e inestable $\langle \binom{0}{1} \rangle$ eigenspaces.

Como te ha gustado este método, he dibujado otros casos. Todos tienen la misma característica. Primero se miran los eigenspaces, se dibujan y luego se dibujan las órbitas según ellos. Tomemos siempre wlog $v_1=(1,0), v_2=(0,1)$ ya que de lo contrario sólo girar su avión.

• Arriba a la izquierda: $\lambda_1=\lambda_2>0$ , $(0,0)$ es inestable
• Arriba a la derecha: $\lambda_1=\lambda_2<0$ , $(0,0)$ es estable
• Abajo a la izquierda: $0<\lambda_1<\lambda_2$ , $(0,0)$ es inestable. Dado que $\lambda_1$ está más cerca del cero "crítico" y es, en cierto sentido, "menos inestable" que $\lambda_2$ por lo que las órbitas se mueven más hacia $v_2$
• Abajo a la derecha: $0>\lambda_1>\lambda_2$ , $(0,0)$ es estable