Resolución de la ecuación funcional $f(xy)=f(f(x)+f(y))$

Question

Encontrar todas las funciones de $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que para todo #% de %#% y $x$ % $ $y$

He puesto $$f (xy)=f (f (x)+f (y))$ y $x$ $y$ y $0$. ¿Cómo proceder después de sustituir si no sabemos cuál es la función?

Answer 1

% $ $$f( 0 ) = f( f(x) + f(0) )$En particular, $f(2f(0))=f(0)$. Que $y=2f(0)$ en la igualdad original, %#% $ #% si no es igual a $$f( x \cdot 2f(0) ) = f( f(x) + f(2f(0)) ) = f( f(x) + f(0) ) = f(0)$ $f(0)$, hemos terminado.

Ahora Supongamos $0$, y desde arriba se obtiene $f(0) = 0$. Que $f( f(x) ) = 0$, lleva %#% $ #% si no es igual a $y = f(1)$ $$f( x \cdot f(1) ) = f( f(x) + f( f(1) ) ) = f( f(x) ) = 0$, hemos terminado.

Mientras que si luego, $f(1)$, que $0$ y $f(1) = 0$. Por lo tanto la única solución es constante.

Answer 2

Inyectiva caso solamente: según lo sugerido por usted y en los comentarios, usamos $\{x,y\}=\{0,1\}$:

$y=0$:

1. $$f(0)=f\big(f(x)+f(0)\big)$$

$x=y=0$:

2. $$f(0)=f\big(2f(0)\big)$$

por lo que vemos: $(1)=(2)$-> f\big $$ (f (x) + f (0) \big) = f\big (2f (0) \big) \\ f (x) + f (0) = 2f (0) \\ f (x) = f (0) = c $$

Probamos qué $c$ puede ser: $f(xy)= c = f(2c) = c$ % verdadero $\forall c \in \mathbb{R}$

Así que la única solución: $f(x)=c$ $c \in \mathbb{R}$, (y fácilmente podría ser generalizado al dominio complejo $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$, $c \in \mathbb{C}$).