Variación de parámetros para EDO lineales de orden superior

Question

No estoy muy familiarizado con el protocolo y la etiqueta adecuados para pedir ayuda resolviendo problemas de deberes, así que pido disculpas si hago algo mal. He pasado una cantidad exorbitante de tiempo hoy tratando de envolver mi cabeza alrededor de la variación de los parámetros de orden superior ODEs lineales, y estoy en mi ingenio. Cualquier ayuda será muy apreciada. En particular, estoy derrotado por el cuarto orden lineal ODE $$y^{(4)}+2y^{''}+y=sin(t).$$ Según mi libro de texto, la solución es $$y=c_1cos(t)+c_2sin(t)+c_3tcos(t)+c_4tsin(t)-\frac{1}{8}t^2sin(t).$$ He estado trabajando con la fórmula $$Y(t)=\sum_{m=1}^ny_m(t)\int_{t_0}^{t}\frac{g(s)W_m(s)}{W(s)}ds$$ para encontrar una solución concreta $Y(t)$ para combinar con $y_c(t)$ para una solución general $y(t)$ . Me parece bien llegar a $y_c(t)$ pero trabajando para $Y(t)$ Termino con el Wronskian $$W=\begin{vmatrix}cos(t)&sin(t)&tcos(t)&tsin(t)\\-sin(t)&cos(t)&cos(t)-tsin(t)&sin(t)+tcos(t)\\-cos(t)&-sin(t)&-2sin(t)-tcos(t)&2cos(t)-tsin(t)\\sin(t)&-cos(t)&-3cos(t)+tsin(t)&-3sin(t)-tcos(t)\end{vmatrix},$$ which stumps me. I tried instead using complex numbers to avoid dealing with so much trig, and had $e^{it},e^{-it},te^{it},\text{ and }te^{-it}$ filling out the first row in $W$, but that also got me nowhere. MatLab tells me the Cramer's rule determinants are $$\begin{align}W_1&=4cos^4(t)-4sin^4(t)-8cos^2(t)sin^2(t)\\W_2&=2cos(t)(cos^t(t)+sin^2(t))\\W_3&=-2tsin^3(t)-2cos^3(t)-2cos(t)sin^3(t)-2tcos^2(t)sin(t),\text{ and }\\W_4&=2sin^3(t)+2cos^2(t)sin(t)\end{align}$$ Sospecho que me he extraviado en alguna parte de este embrollo, porque no tengo ni idea de cómo conseguiría $\frac{-1}{8}t^2sin(t)$ de todo eso. Estoy tan desmesuradamente estresado ahora mismo, que me vendría muy bien algo de ayuda. También, la variación de parámetros es el método requerido para que yo utilice. No he probado con coeficientes indeterminados porque ese método era la tarea de la semana pasada. Menos urgente porque es un ejercicio no recogido, pero soy igualmente incapaz de resolver $y^{'''}-y^{''}+y^{'}-y=e^{-t}sin(t).$

Answer 1

Tenga en cuenta que su Wranskian $$W=\begin{vmatrix}cos(t)&sin(t)&tcos(t)&tsin(t)\\-sin(t)&cos(t)&cos(t)-tsin(t)&sin(t)+tcos(t)\\-cos(t)&-sin(t)&-2sin(t)-tcos(t)&2cos(t)-tsin(t)\\sin(t)&-cos(t)&-3cos(t)+tsin(t)&-3sin(t)-tcos(t)\end{vmatrix}$$ se simplifica si se añade la primera fila a la tercera y se añade la segunda fila a la cuarta.

Obtendrá $$W=\begin{vmatrix}cos(t)&sin(t)&tcos(t)&tsin(t)\\-sin(t)&cos(t)&cos(t)-tsin(t)&sin(t)+tcos(t)\\0&0&-2sin(t)&2cos(t)\\0&0&-2cos(t)&-2sin(t)\end{vmatrix}=4$$