$\{a_n\} \in \mathcal{l}^2$ , $\epsilon$ dado, podríamos encontrar $N$ tal que para $i > N$ , $a_i < \epsilon$ y para $a_{i^2}<\frac{\epsilon}{i}$ ?

Question

Supongamos, $\{a_n\}_{n \in \Bbb N} \in \mathcal{l}^2$ lo que significa, $\sum_{n\in \Bbb N}{a_n}^2 < +\infty$ . dado cualquier $\epsilon$ ¿podríamos encontrar $N$ tal que para cualquier $i > N$ , $a_i < \epsilon$ y para $a_{i^2}<\frac{\epsilon}{i}$ ?

Si no es así, ¿existe un $p$ tal que dado cualquier $\epsilon$ podríamos encontrar $N$ tal que para cualquier $i > N$ , $a_i < \epsilon$ y para $a_{i^p}<\frac{\epsilon}{i}$ ?

Answer 1

La condición $a_i<\varepsilon$ para $i$ suficientemente grande no es un problema. Pero el segundo es: tomar $$a_{2^j}:=\frac 1j$$ y $a_k=0$ si $k$ no es de la forma $2^j$ para algunos $j$ .

Si $i^p=2^j$ (por ejemplo $i=2^l$ y $j=pl$ ), entonces $ia_{i^p}= \frac{2^{j/p}}j,$ y esto no va a $0$ .