Serie $\sum(-1)^{a(n)}\frac1{a(n)}$ convergiendo a infinito con $a:\mathbb N\to\mathbb N$ una biyección

Question

Me encantaría que me dieran una pista o dirección sobre esto y encontrar una solución yo mismo:

Construye una biyección: $$\: f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $$ tal que: $$ \sum_{n=0}^{\infty} -1^{f(n)}\frac{1}{f(n)} = \infty $$ Pensé en algo como lo siguiente para eliminar todos los elementos de la serie que son negativos: $$ f(n):= \left \{ \begin{array}{ll} n^{odd} \rightarrow n-1 \\ n^{even} \rightarrow n\\ \end{array} \right. $$ Pero entonces $f(n)$ no puede ser una biyección. Otra forma sería transformar la fracción $\frac{1}{f(n)}$ en algo que es divergente, pero no veo cómo eso sería posible en un $\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ mapa.

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EDITAR: Suprimida la sugerencia de que la serie resultante sería una serie armónica o geométrica.

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Answer 1

Los números enteros positivos pares pueden dividirse en bloques consecutivos $E_1 < E_2 < E_3 < \cdots $ tal que

$$\sum_{n\in E_k} 1/n > 2\,\,\,\text{for each } k.$$

Ahora piense en hacer una lista $\mathbb N$ como $E_1$ seguido de $1,$ entonces $E_2$ seguido de $3,$ entonces $E_3$ seguido de $5,$ etc. Esto define una biyección $f$ de $\mathbb N$ en $\mathbb N$ para lo cual

$$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{f(n)}\frac{1}{f(n)} \ge 1+1+\cdots = \infty.$$

Answer 2

No creo que te refieras a una serie geométrica porque no es eso lo que has escrito así que mi respuesta te orientará hacia un reordenamiento de la serie $$\sum_{n\geq 1} \frac{(-1)^n}{n} $$ que divergirá. Podemos hacer esto porque la serie de arriba es condicionalmente convergente.

Sea $a_i = \frac{1}{2i}$ y $b_j = -\frac{1}{2j-1}$ para $i,j\geq 1$ entonces organizaremos el $a_i$ y $b_j$ para que su suma converja. Sea $n_1$ sea mínimo de forma que $$a_1 + a_2 + \cdots + a_{n_1} \geq -b_1 + 1$$ Ahora dejemos que $n_2$ sea mínimo de forma que $$a_{n_1+1} + \cdots + a_{n_2}\geq -b_2 + 1$$

y continuar así. Entonces $a_{n_{k-1}+1} + \cdots+ a_{n_k} + b_k \geq 1$ para todos $k$ y así $$a_1 + a_2 + \cdots + a_{n_1} + b_1 + a_{n_1 + 1} + \cdots + a_{n_2} + b_2 + \cdots $$ diverge. Esperemos que esto sea suficiente para que construyas tu biyección.

Answer 3

Mi respuesta se dirige al original pregunta.

Es imposible para encontrar una biyección $f: \Bbb{N}\to\Bbb{N}$ tal que la suma alterna de los recíprocos es una serie geométrica divergente alterna.

Para hacer $$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{f(n)}\frac{1}{f(n)} = \infty$$ una alternancia divergente geométrico serie, necesita $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = -M < -1$ para alguna constante $M > 1$ donde $a_n = (-1)^{f(n)}\dfrac{1}{f(n)}$ . (Necesita constante relación $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ para geométrico serie, y si $0 < M < 1$ la serie es absolutamente convergente . Si $M = 1$ , $f$ es no una biyección). El cociente común pasa a ser $$-M = \frac{a_{n+1}}{a_n} = (-1)^{f(n+1) - f(n)}\frac{f(n)}{f(n+1)}.$$ Dado que el codominio de $f$ es $\Bbb{N}$ , $\dfrac{f(n)}{f(n+1)} = M > 1$ . Es fácil ver que $f(n) = \dfrac{1}{M^n} \in (0,1)$ contradiciendo la condición de que el codominio de $f$ es $\Bbb{N}$ .