Q. Determine los valores de p y q para los que converge la integral impropia \begin{equation} \int_0^{\infty}x^p[\ln(1+x)]^q\,dx \end{equation} Ya existe una pregunta sobre este problema ( Aquí ), pero creo que hay un pequeño fallo que hay que modificar. Estoy de acuerdo con su argumentación para el caso $p = -1$ o $p > -1$ . Al demostrar que esta integral diverge para $p < -1$ Sin embargo, utilizó $$\lim_{x \to 0} x^cln(1+x)^q = \infty \space \text{when} \space c < 0$$ Pero para el caso $ c = -1$ y $q = 1$ correspondientes aproximaciones límite $1$ no $\infty$ . Así que creo que necesitamos una modificación para el caso $p < -1$ . A lo mejor también me falta algo de contexto. Resumiendo, lo que me interesa es lo siguiente: 1. ¿Es correcta su argumentación para el caso $p = -1$ y $p > -1\ ?$ 2. ¿Cómo podemos demostrar para el caso $p < -1 $ ¿correctamente?
Respuesta
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Probablemente sea mejor organizar nuestras ideas considerando un $pq$ plano de valores. Obsérvese que tanto $x$ y $\ln(1+x)$ tienen ceros en $x=0$ .
Si ambos $p$ y $q$ son positivas, esta integral diverge horriblemente debido al límite infinito, así que todo nuestro primer cuadrante está fuera. Del mismo modo, si $p$ y $q$ fueran ambas negativas, entonces la integral divergiría en el otro límite en $0$ así que nuestro tercer cuadrante también desapareció. Los últimos descartes fáciles son los ejes, donde o bien $p=0$ o $q=0$ .
Divide la integral en tres partes:
$$= \int_0^\epsilon x^p \ln^q(1+x) dx + \int_\epsilon^T x^p \ln^q(1+x) dx + \int_T^\infty x^p \ln^q(1+x) dx$$
para algunos $\epsilon$ y $T$ lo suficientemente pequeños y grandes para aplicar nuestras aproximaciones, respectivamente. Cerca de $0$ , $\ln(1+x)\approx x$ por lo que el integrando queda como $\frac{1}{x^{-(p+q)}}$ . La prueba integral cerca de $0$ nos dice que $$-(p+q) < 1 \implies p+q > -1$$
La integral del medio siempre es finita, así que podemos ignorarla. Por otra parte, para $x$ , $\ln(1+x) \approx \ln(x)$ . Consideremos entonces la integral de la derecha con esa sustitución asintótica y el cambio de variable $u = \ln(x)$ :
$$\int_T^\infty x^p \ln^q(x) dx = \int_{\ln T}^\infty u^q e^{(p+1)u}du$$
La integral sólo converge si $p+1 < 0$ o si $p+1 = 0$ y $q < -1$ porque la exponencial domina el comportamiento de la integral. Sin embargo, el segundo caso es imposible porque esos puntos $(-1,q)$ existen en el tercer cuadrante del $pq$ avión.
Combinando nuestras desigualdades, tenemos definitivamente que $p < -1$ y $p+q > -1$ . Este es un gráfico de Desmos que muestra la región de valores permitidos (siendo el eje horizontal $p$ y el eje vertical es $q$ ):
