Cardinalidad de los rangos del universo construible

Question

Primera vez que me encuentro con el universo Constructible $L$ y la definición dada en Jech es la siguiente:

• $L_0=\emptyset$ ,
• $L_{\alpha+1}=\operatorname{def}(L_\alpha)$ ,
• $L_\lambda=\bigcup_{\alpha<\lambda}L_\alpha$ .

Donde tenemos $\operatorname{def}(M)=\{X\subseteq M:\text{ X is definable in }(M,\in)\}$

Mi duda es cuál es la cardinalidad de $L_{\omega+1}$ . De las definiciones parece que es contable ya que $L_{\omega}$ es contable, también lo es el número de $n$ - tuplas y lo mismo ocurrirá con todas las secuencias finitas de elementos de $L_{\omega}$ . También tenemos el número de $\{\in\}$ - fórmulas es contable, por lo que parece que $L_{\omega+1}$ también debe ser contable. ¿Es esto correcto? Si es así, ya que $L$ es un modelo de $ZFC$ que puede demostrar $\mathcal{P}(\omega)\subseteq V_{\omega+1}$ parecería que el universo construible piensa $L_{\omega+1}$ es incontable. ¿Es esto también correcto?

Answer 1

Tiene razón en que $L_{\omega+1}$ es contable, pero no es correcto que $L$ piensa que es incontable. Aunque $L$ satisface $V=L$ no satisface $V_\alpha=L_\alpha$ para cada $\alpha$ . Cada conjunto del $V$ jerarquía acaba apareciendo en el $L$ jerarquía, pero normalmente en una fase posterior. Así que $L_{\omega+1}$ no contiene todos los subconjuntos de $\omega$ que se encuentran en $L$ ; de hecho, hay que llegar hasta $L_{\omega_1^L}$ para capturar todos los subconjuntos de $\omega$ en $L$ .