Determinación de la capacitancia de un sistema con un dieléctrico no homogéneo

Question

En un experimento nos dieron sustancias dieléctricas no homogéneas descritas por funciones de coordenadas. ¿Cómo se puede determinar la capacitancia a partir de esto?

Answer 1

Es necesario utilizar las siguientes ecuaciones procedentes de la electrostática:

$$\nabla\cdot(\epsilon({\bf x}){\bf E})=\rho({\bf x})$$

$${\bf E}=-\nabla\phi$$

con las condiciones de contorno adecuadas. Entonces, con la definición de capacitancia obtendrás el resultado. Esto no suele ser factible analíticamente y dependerá del problema en cuestión.

Answer 2

Aquí hay un método (defectuoso) para hacerlo - que funciona para muchos casos De lo contrario el método de @Jon es el camino a seguir.

Rómpelo en finas barras infinitesimales para que obtengas $\infty$ condensadores paralelos de área $\rm dA$ . Normalmente una de las direcciones será homogénea, por lo que se puede escribir $\rm dA=z\rm dy$ . Por lo demás, $\rm dA=dy\cdot dz$

Divida cada barra en trozos infinitesimales y obtenga $\infty$ condensadores en serie por rebanada de espesor $\rm dx$ .

Para cada varilla, hallar el recíproco infinitesimal de la capacitancia $\rm d(\frac1C_{chunk})$ (en términos de $(x,y,z)$ Integre $\int \rm d(\frac1C_{chunk})=\frac1{dC_{rod}}$

Ahora integra $\int \rm dC_{rod}=C_{eq}$

El problema es que, al dividirlos en un conjunto de condensadores en serie, se utiliza la fórmula de condensadores en serie. Esto supone que la distribución de la carga en cada condensador en serie es la misma, lo que es incorrecto en este caso. Aquí no podemos aplicar la conservación de la carga en una varilla, ya que la carga puede entrar y salir por varios puntos.

Normalmente, un caso suficientemente simétrico funciona.