derivación de la ley de la varianza total sin utilizar la fórmula abreviada de la varianza

Question

En la derivación de la ley de la varianza total a partir de la definición original de varianza ( no utilizando la fórmula abreviada de la varianza), se suma y se resta el término $E(y|x)$ , agruparlos a los dos términos de la varianza, FOIL-expandir y el término cruzado +2(..)(..) pasa a 0:

$var(y) = E[(y-E(y))^2] \\= E[(y-E(y|x)+E(y|x)+E(y))^2] \\= E[(y-E(y|x))^2] + E[(E(y|x) - E(y))^2] + 2E[(y-E(y|x))(E(y|x)-E(y)]$

Sin embargo, me cuesta ver por qué el término +2(..)(..) pasa a 0.

http://www.columbia.edu/~gjw10/lie.pdf afirma que el este último término se retira porque:

$E[u|x] = E[(y - E(y|x))|x] = E(y|x) - E(y|x) = 0$

Sin embargo, la expectativa del término cruzado es la expectativa de dos factores: $E[(y-E(y|x))(E(y|x)-E(y))]$

Pero ¿cómo podemos considerar que sólo uno de los factores va a 0, si E(AB) != E(A)E(B) a menos que A,B sean independientes?

Gracias.

Answer 1

Por la ley de la expectativa iterada, podemos escribir $$E[(y - E[y|x])(E[y|x] - E[y])] = E[E[(y - E[y|x])(E[y|x] - E[y]) | x]]$$ Por lo tanto, para demostrar que el LHS es 0, basta con demostrar que la expectativa condicional en el RHS es 0 para cada valor fijo de $x$ porque $E[0] = 0$ . Así que sólo tenemos que demostrar que $$E[(y - E[y|x])(E[y|x] - E[y]) | x]$$ Lo especial de esta expresión es que el segundo factor $E[y|x] - E[y]$ es constante condicionada a $x$ y es por eso que se puede factorizar fuera de la expectativa condicional (aunque tienes toda la razón en que no se puede factorizar fuera de la expectativa en general), es decir. $$E[(y - E[y|x])(E[y|x] - E[y]) | x] = E[y-E[y|x]|x](E[y|x]-E[y]) = 0$$ Además, una pequeña objeción sobre su último punto. Hay situaciones en las que $E[AB] = E[A]E[B]$ incluso cuando $A,B$ no son independientes. Por ejemplo, basta con que $A$ y $B$ no están correlacionadas (de hecho, incluso se podría tomar la igualdad anterior como la definición de lo que significa no estar correlacionado). Una condición suficiente menos trivial es que bastaría con que $E[A|B] = E[A]$ .