Limos inversos del sistema suryectivo inverso

Question

Sea $\{G_i, \phi_{i,j}, i, j \in I\}$ con orden parcial $I$ un sistema inverso de grupos finitos y $G = \varprojlim G_i$ es un limes inverso, por lo tanto un grupo profinito. Si sé que todos $\phi_{i,j}$ son suryectivas ¿cómo puedo concluir que la canónica $\phi_i: G \to G_i$ ¿también son suryectivas?

Mi idea: Si tengo $x_i \in G_i$ entonces puedo definir los componentes de un $y \in G$ de la siguiente manera:

Para i: $y_i := x_i$ para j con $i>j$ : $y_j := \phi_{i,j}(x_i)$ . Si I en contable puedo para cada $k>i$ retire los componentes $y_k$ de y de la siguiente manera por inducción: $\phi_{k,i}$ es suryectiva por lo que puedo encontrar un $x_k \in G_k$ con $\phi_{k,i}(x_k) = X_i$ . Por lo tanto, defina $y_k:= x_k$ . Debido a que es un sistema inverso obtenemos de esta forma un $y \in G$ . Pero, ¿cómo puedo retirar los componentes $y_k$ de y para $k>i$ para obtener un $y \in G$ con $\phi_i(y)= X_i$ si $I$ ¿no es contable?

Answer 1

Tenga en cuenta que el $G_i$ son todos finitos, esto significa que si equipamos el $G_i$ con la topología discreta, todo subconjunto de $G_i$ también son compactas. Ahora, para cada $\ell\in I$ tomamos los siguientes conjuntos $X_\ell\subset G_\ell$ : Para $i\geq\ell$ tenemos $X_\ell=\{\phi_{i,\ell}(x_i)\}$ Para $i\leq\ell$ tenemos $X_\ell=\{\phi_{\ell,i}^{-1}(x_i)\}$ . Porque $\phi_{\ell,i}$ son suryectivas tenemos $X_\ell\neq\emptyset$ para todos $\ell\in I$ y el $X_\ell$ son todos compactos. Además $\phi_{\ell,k}(X_\ell)\subset X_k$ es válido para $\ell\geq k$ . Por lo tanto $\{X_\ell,\phi_{\ell,k},\ell,k\in I\}$ es un sistema inverso. Debido a que el $X_\ell$ son todos compactos tenemos $X=\varprojlim X_\ell\neq\emptyset$ y $y\in X\subset G$ satisface $\phi_i(y)=x_i$ .