¿Puede el área ser irracional?

Question

Estoy atascado en una pregunta de mi libro que dice:

Si en un triángulo equilátero las coordenadas de dos vértices son integrales, ¿qué podemos decir de las coordenadas del tercero?

La respuesta es que al menos una de las coordenadas del tercer vértice es irracional.

Ahora no sé cómo demostrarlo aunque también hay una explicación en mi libro con la que puedo no estar de acuerdo. Pero primero aquí está mi intento:

He supuesto un triángulo equilátero con coordenadas de 2 vértices como $(0,0)$ y $(2,2)$ .

Ahora, dejemos que el tercer vértice sea $(x,y)$ .

Utilizando el hecho de que todos los lados son iguales en el triángulo equilátero y utilizando la fórmula de la distancia obtengo

$x^2+y^2=(x-2)^2+(y-2)^2$

Entonces obtenemos $x+y=2$ así que $x$ y $y$ ¡¡¡¡¡¡no son irracionales seguro !!!!!!

P. S= sé que la línea anterior está mal ahora pero es mejor que esté ahí para saber cómo lo intenté...

Llegando a lo que dice mi libro... Dice que supongamos que las coordenadas del tercer vértice son racionales, así que cuando usamos la fórmula del área de un triángulo si se dan 3 vértices obtenemos un área racional. Pero sabemos que el área de un triángulo equilátero es $\frac{\sqrt{3}}{4}side^2$ así que el área es irracional eso no es posible así que una coordenada tiene que ser irracional.

Ahora bien, ¿por qué el área no puede ser irracional? ¿No es también el caso de un círculo? ¿Y por qué estoy demostrando lo contrario?

Por favor, ayuda.

Answer 1

Si $ABC$ es un triángulo equilátero y $A=(0,0),B=(x,y)$ entonces $C$ se encuentra en: $$ C=\left(\frac{x\mp \sqrt{3}y}{2},\frac{y\pm \sqrt{3}x}{2}\right),$$ así que asumiendo que $B$ es un punto con coordenadas racionales, $C$ no lo es.

Además, el área de un triángulo equilátero es simplemente $\frac{\sqrt{3}}{4}l^2$ donde $l$ es la longitud de un lado.

Del mismo modo, si la longitud del lado es un número racional, el área no lo es.

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Con un enfoque alternativo, si los tres vértices de un triángulo equilátero tienen coordenadas racionales entonces el área es un número racional por la fórmula de los cordones . Pero en tal caso la longitud del lado al cuadrado es también un número racional, por lo que el área es al mismo tiempo un número racional y $\sqrt{3}$ por un número racional, contradicción.

Answer 2

Su contraejemplo no funciona, porque $x+y=2$ no implica que $x$ y $y$ son racionales. De hecho, tenemos también que $x^2+y^2=8$ . Sustituyendo $y=2-x$ en esta última ecuación, obtendrás una ecuación cuadrática con dos raíces irracionales.

Answer 3

Deberías releer la prueba del libro...

Brevemente,

1. Supongamos que el tercer punto tiene coordenadas racionales
2. Entonces por la fórmula que citas, el área es racional
3. Pero el área es un número irracional por la longitud de un lado al cuadrado
4. Pero por los supuestos originales, dos vértices tienen coordenadas racionales, por lo que la longitud del lado al cuadrado también es racional
5. Un racional por un irracional es irracional; por lo tanto en este caso El área es irracional
6. Por lo tanto, la suposición (Punto 1) lleva a una contradicción (Punto 2 vs Punto 5)

Son los puntos 4 y 5 los que el libro no establece explícitamente...

Answer 4

Enfrentarse a la pregunta real que usted hace, en lugar de la que hace su libro:

El área en general PUEDE ser irracional. El Área de ese triángulo en particular no puede.

De acuerdo con su pregunta:

Dice que vamos a suponer que las coordenadas del tercer vértice son racionales, así que cuando usamos la fórmula del área de un triángulo si se dan 3 vértices obtenemos un área racional. Pero sabemos que el área de un triángulo equilátero es 3 4 lado 2, por lo que el área es irracional, lo que no es posible, por lo que una coordenada tiene que ser irracional.

Esta cita menciona que un triángulo con 3 vértices racionales tendrá un área racional.

Si tiene un área racional, entonces no puede tener también un área irracional.

Así, un triángulo con 3 vértices racionales no puede tener un área irracional.

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(Volviendo a la respuesta dada en tu libro, argumenta que un triángulo equilátero con dos vértices racionales debe tener un área irracional, por lo que el tercer vértice no puede ser completamente racional ya que eso no podría producir un área irracional).

Answer 5

Sean los vértices del triángulo $A=(0,0),B=(a,b),C=(c,d)$ y etiquetar el punto medio de $AB$ como $D=(a/2,b/2)$ . Entonces los vectores $\overset{\to}{AD}=(a/2,b/2)$ y $\overset{\to}{DC}=(c-a/2,d-b/2)$ son perpendiculares, siendo la altitud y la (media) base del triángulo, y $|DC|=\sqrt 3|AD|$ . Rotación del vector $DC$ por $90^\circ$ para conseguir $v=(b/2-d,c-a/2)$ vemos que $v=\pm\sqrt 3\overset{\to}{AD}$ , mientras que ambos $v$ y $AD$ son vectores racionales, por lo que $\sqrt 3=\left|\dfrac{b/2-d}{a/2}\right|=\left|\dfrac{c-a/2}{b/2}\right|$ son dos descomposiciones racionales de $\sqrt 3$ cualquiera de ellas es una contradicción. Del mismo modo, el área del triángulo es $\rho=\frac{\sqrt 3}2|(a,b)|^2$ que da lugar a la descomposición racional $\sqrt 3=\frac{2\rho}{|(a,b)|^2}$ bajo el supuesto de que $A$ es racional.